math factorisation – comment factoriser une expression mathématique facilement

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La factorisation, c’est écrire une expression algébrique sous la forme d’un produit pour la simplifier et résoudre des équations.

Lisez cet article d’Apprendre 5 minutes et vous saurez comment factoriser une expression mathématique et réussir vos exercices. La factorisation deviendra un jeu d’enfant.

Sommaire

• Définition.
• Pourquoi factoriser ? A quoi sert la factorisation ?
• Comment factoriser une expression mathématique ?
• Ce qu’il faut retenir.
• Comment retenir définitivement?
• Factorisation – exercices et corrigés.

Factoriser – définition

Factoriser permet de transformer une expression mathématique (une somme ou une différence, par exemple) en un produit.

Factoriser, c’est mettre en commun un facteur de l’expression mathématique (algébrique).

Un facteur est un des éléments constitutifs de la multiplication. Par exemple, l’expression mathématique « 4 × 3 » comprend  deux facteurs 4 et 3; l’expression mathématique 3 × 5 × 7 a pour facteurs 3, 5 et 7.

L’opération inverse de la factorisation est le développement de l’expression mathématique (algébrique).

Sommaire.

Pourquoi factoriser ? A quoi sert la factorisation ?

Nous nous en servons en particulier quand il est plus facile, plus simple de calculer un produit qu’une somme pour obtenir le résultat.

Pourquoi factoriser ?

Deux cas de figure :

1 – Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue pour laquelle ou lesquelles l’égalité est vérifiée.

Par exemple, résoudre l’équation « x² +6x + 8 = 0″ peut paraitre difficile.

Par contre, une fois factorisée, elle devient « (x+2)(x+4) = 0 », ce qui est plus facile à résoudre.

2 – Simplifier une expression mathématique (algébrique)

Simplifier , c’est trouver un ou plusieurs facteurs communs qui vont permettre de réduire l’expression algébrique.

Par exemple, « (2x+10)(3x+2) + (2x+10)² »

devient « (2x+10)((3x+2)+(2x+10)) »,

puis « (2x+10)(5x+12) »;

(2x+10) étant le facteur commun.

A quoi sert la factorisation dans la vie ?

Dans la vie courante, nous nous servons souvent de la factorisation.

En voici un exemple concret : préparer un anniversaire.

Vous voulez envoyer un SMS ou un mail à vos amis pour les inviter.

Vous avez deux solutions :

• Vous écrivez le SMS ou le mail à votre premier ami, vous lui envoyez, puis vous écrivez à nouveau le même SMS ou mail pour votre deuxième ami et vous lui envoyez et ainsi de suite, ce qui peut vite devenir fastidieux.
• Ou vous écrivez le SMS ou le mail une seule fois et vous l’envoyez à vos invités en une seule fois.

Vous obtenez le même résultat mais, avec la deuxième solution, vous avez économisez votre temps et réduit vos efforts.

Pour les maths, factoriser c’est la même chose : « mail pour ami 1″ +, »mail pour ami 2 » = « mail » pour « ami 1 + ami 2 ».

Nous venons de factoriser le facteur « mail ».

Factoriser, c’est trouver ce qui est en commun dans une expression et le mettre à part pour ne l’exécuter qu’une seule fois.

Sommaire.

 Comment factoriser une expression mathématique (algébrique)

Nous avons vu que factoriser c’est chercher le facteur commun et l’isoler.

Factoriser, c’est trouver quoi multiplier ensemble pour obtenir l’expression mathématique (algébrique).

1 – Factoriser avec un facteur commun

Par exemple, prenons l’expression mathématique « 2x + 8 ». 2x et 8 ont pour facteur commun 2.

Le résultat de la factorisation est :

« 2x + 8 = 2(x + 4) ».

2x + 8 est factorisé en 2 et (x+4).

Pour factoriser au mieux, il s’agit de chercher le plus grand facteur commun.

Par exemple, prenons l’expression mathématique « 2x² + 8x ».

2 et 8 ont pour facteur commun 2.

Nous pourrions factoriser l’expression comme suit :

« 2x² + 8x = 2(x² + 4x) ».

Mais 2x² et 8x ont également en commun la variable x.

Nous obtenons « 2x² + 8x = 2x (x + 4) ».

Trouver le facteur commun n’est pas toujours évident et peut se révéler complexe.

2 – Factoriser avec les identités remarquables

Pour les factorisations complexes, une astuce consiste à utiliser les identités remarquables, appelées aussi égalités remarquables.

Les reconnaitre dans une expression mathématique (algébrique) permet de factoriser plus rapidement.

Les principales identités remarquables à retenir sont les suivantes :

a² – b² = (a + b)(a – b)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)(a – b) = (a – b)²

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

a³ -3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Exemple – mise en évidence simple d’une identité remarquable

Prenons l’expression mathématique « 9x² – 16″.

9x² – 16 = (3x)² – (4)²

Nous voyons apparaître, dans l’expression mathématique, l’identité remarquable

« a² – b² = (a + b)(a – b) » avec « a = 3x » et « b = 4 ».

Nous obtenons la factorisation

« 9x² – 16 = (3x + 4)(3x – 4)« .

Les facteurs sont (3x + 4) et (3x – 4).

3 – Factoriser une expression du second degré.

Nous allons factoriser l’expression mathématique suivante : « x² – 2x – 8″.

Elle ne correspond pas à une identité remarquable. Toutefois, nous voyons que « x² – 2x » est le début de l’identité remarquable « a² + 2ab + b² = (a + b)²  » avec « a = x » et « b = -1 ».

 » x² – 2x + 1 = (x – 1)² »

« x² – 2x – 8 = x² – 2x + 1 – 1 -8 = (x – 1)² -9″

Nous voyons apparaitre l’identité remarquable « a² – b² = (a + b)(a – b) » avec « a = x – 1 » et « b = 3 ».

« (x – 1)² -9 = (x – 1)² – (3)² = (x – 1 + 3)(x – 1 – 3) = (x + 2)(x – 4) ».

Nous obtenons la factorisation « x² – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4) ».

4 – Factoriser une expression composée.

Parfois, une expression mathématique (algébrique) peut être décomposée en plusieurs identités remarquables.

Exemple d’expression composée

Prenons l’expression mathématique « x³ – x² – 4x + 4″.

Nous allons factoriser les deux premiers termes de l’expression mathématique (algébrique) puis les deux derniers :

« (x³ – x²) + ( – 4x + 4) »

« x²(x – 1) – 4(x – 1) »

Nous voyons (x – 1) comme facteur commun

« (x – 1)(x² – 4) ».

« x² – 4″ correspond à l’identité remarquable « a² – b² = (a + b)(a – b) » avec « a = x » et « b = 2 ».

Nous obtenons la factorisation « x³ – x² – 4x + 4 = (x – 1)(x + 2)(x – 2) ».

Comment trouver les identités remarquables ?

Parfois, les identités remarquables, qui constituent l’expression mathématique (algébrique), n’apparaissent pas simplement.

Il existe une méthode infaillible pour les trouver.

Prenons l’équation

« A = ax² + bx + c »

Pour trouver les identités remarquables qui composent l’équation, nous allons voir comment décomposer le terme central « bx ».

Nous allons chercher la valeur de deux nombres m et n tels que :

• mn = ac
• m + n = b

Ensuite, nous écrirons :

« A = ax² + bx + c = ax² + mx + nx + c »

Prenons, par exemple : « A = x² + 7x + 12″

• a = 1
• b = 7
• c = 12

Nous allons séparer en deux parties le terme central « 7x ».

Nous devons déterminer les deux nombres m et n. Ils doivent répondre aux conditions suivantes :

• mn = ac = (1)(12) = 12
• m + n = b = 7

Nous trouvons

• m = 3
• n = 4

Nous allons remplacer le terme central « 7x » par « 3x + 4x ». Nous obtenons

A = x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12

A = ( x² + 3x) + (4x + 12)

A = x(x + 3) + 4(x + 3)

A = (x + 4)(x + 3)

Avec cette méthode, trouver les identités remarquables qui composent l’expression mathématique (algébrique) devient un jeu d’enfant.

Sommaire.

Ce qu’il faut retenir.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

math – factorisation – comment factoriser une expression mathématique (algébrique)

Factoriser, c’est trouver ce qui est en commun dans une expression et le mettre à part pour ne l’exécuter qu’une seule fois.

En maths, factoriser une expression mathématique (algébrique), c’est la transformer en un produit de facteurs.

Pour factoriser au mieux, il s’agit de chercher le plus grand facteur commun.

Pour les factorisations complexes, une astuce consiste à utiliser les identités remarquables, appelées aussi égalités remarquables.

Les principales identités remarquables à retenir sont les suivantes :

a² – b² = (a + b)(a – b)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)(a – b) = (a – b)²

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

a³ -3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Sommaire.

Comment retenir définitivement ?

Pour mémoriser définitivement, nous allons utiliser comme technique de mémorisation, les répétitions espacées.

Pour ne pas surcharger notre cerveau, nous oublions naturellement les informations que nous recevons de plus en plus vite au fur et à mesure que le temps passe.

Toutefois, au bout d’un certain temps, certaines informations restent présente dans notre mémoire. En rafraichissant nos connaissances régulièrement et de façon espacée dans le temps, l’oubli est de plus en plus lent.

Pour mémoriser de façon optimale, nous devons ancrer les  informations à retenir en les révisant souvent au début. ensuite, il nous restera à les réviser juste avant d’oublier. Nous prolongeons ainsi le temps de rétention et nous transférons les informations à retenir dans la mémoire à long terme.

Pour mémoriser, par exemple, les identités remarquables, une fois que vous avez réussi à les retenir une fois, vous pouvez procéder de la manière suivante :

• Répéter de suite.
• Recommencer une minute après.
• Répéter encore une fois la minute qui suit.
• Répéter 10 minutes après.
• Recommencer une heure après.
• Recommencer 10 heures après (ou avant de vous endormir).
• Recommencer 10 heures après (ou au réveil).
• Répéter un jour après.
• Laisser passer un jour sans répéter.
• Réviser le lendemain.
• Répéter une autre fois dans la semaine (3 jours après par exemple).
• Réviser une semaine après.
• Laisser passer une semaine.
• Réviser la semaine suivante.
• Réviser le mois suivante.
• Laisser passer un mois.
• Réviser le mois suivant.
• Réviser un semestre après.
• Rafraichir la mémoire tous les semestres.

Observer bien comment sont construites les identités remarquables, comment s’enchaînent les termes de l’expression mathématique.

L’idéal est de vous les représenter mentalement, de les visualiser dans votre esprit.

Si vous avez du mal à les retenir, pas de panique. Il existe des méthodes, des moyens mnémotechniques efficaces pour y parvenir.

Comme le cerveau adore les histoires, si vous avez du mal à retenir les formules, vous pouvez, par exemple, essayer de représenter les termes de l’identité remarquable sous forme de personnages ou d’objets qui bougent et imaginer une histoire que vous retiendrez plus facilement puisque c’est vous qui l’avez imaginé.

Il existe plusieurs techniques de mémorisation pour retenir des formules.

Si vous voulez les apprendre, cliquer sur notre article « Comment mémoriser les formules mathématiques ou de physique rapidement et facilement ».

En procédant ainsi, votre mémorisation à long terme deviendra très forte.

Au fur et à mesure des rappels, cela deviendra de plus en plus facile et rapide pour vous.

Exercez-vous souvent, pratiquez, entrainez vous à factoriser une expression mathématique (algébrique), faites des exercices de factorisation pour assimiler et habituer votre cerveau.

Réussir vos exercices de factorisation deviendra un jeu d’enfant pour vous.

Sommaire.

Factorisation – exercices et corrigés.

Pour vous exercez, voici dix exercices avec leurs corrigés de factorisation d’expressions mathématiques (algébriques).

Exercice 1

A = 49x² – 16

A = (7x)² – 4²

A = (7x + 4)(7x – 4)

Exercice 2

B = (7x + 5)² – 4

B = (7x + 5)² – 2²

B = (7x + 5 + 2)((7x + 5 – 2)

B = (7x + 7)(7x + 3)

Exercice 3

C = (6x + 7)² – 100

C = (6x + 7)² – 10²

C = (6x + 7 + 10)(6x + 7 – 10)

C = (6x + 17)(6x – 3)

Exercice 4

D = (9x – 3)(6x – 7) + (6x – 7)²

D = (6x – 7)(9x – 3 + 6x – 7)

D = (6x – 7)(15x – 10)

Exercice 5

E = (6x – 8)(4x – 5) + 36x² – 64

E = (6x – 8)(4x – 5) + (6x)² – 8²

E = (6x – 8)(4x – 5) + (6x – 8)(6x + 8)

E = (6x – 8)(4x – 5 + 6x + 8)

E = (6x – 8)(10x + 3)

Exercice 6

F = (4x + 3)(-x + 10) + 16x² – 9

F = (4x + 3)(-x + 10) + (4x)² – 3²

F = (4x + 3)(-x + 10) + (4x + 3)(4x – 3)

F = (4x + 3)(-x + 10 + 4x – 3)

F = (4x + 3)(3x + 7)

Exercice 7

G = (4x + 10)(2x + 4) – (2x + 4)(2x + 9)

G = (2x + 4)(4x + 10 – 2x – 9)

G = (2x + 4)(2x + 1)

Exercice 8

H = x³ – x

H = x (x² – 1)

H = x (x + 1) (x – 1)

Exercice 9

I = x² + 5x + 6

I = (x² + 2x )+ (3x + 6)

I = x (x + 2) + 3(x + 2)

I = (x + 3)(x + 2)

Exercice 10

J = x³ – 5x² + 8x – 4

J = (x³ – 4x² + 4x) + ( – x² + 4 x – 4)

J = x(x² – 4x + 4) – (x²  – 4x + 4)

J = (x – 1) (x²  – 4x + 4)

J = (x – 1) (x – 2)²

Sommaire.

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