Calcul mental – Calculer de tête le carré d’un nombre de deux chiffres sans calculatrice rapidement et facilement – Cours de mathématiques gratuit.
Vous connaissez par cœur les carrés des nombres jusqu’à 10².
- 1² = 1.
- 2² = 4.
- 3² = 9.
- 4² = 16.
- 5² = 25.
- 6² = 36.
- 7² = 49.
- 8² = 64.
- 9² = 81.
- 10² = 100.
Vous aimeriez calculer mentalement les nombres au carré facilement jusqu’à 100² et plus ?
Vous chercher des astuces de calcul mental rapide pour trouver le carré d’un nombre rapidement et facilement ?
Bonne nouvelle ! Il existe des techniques efficaces et faciles à apprendre pour calculer de tête le carré de n’importe quel nombre entier jusqu’à 1002 et même plus.
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Sommaire.
- La méthode pour calculer les carrés de tête.
- Explication détaillée.
- Exercices et corrigés.
- Carré des nombres finissant par 5.
- Carré des nombres voisins.
- A découvrir aussi.
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La méthode pour calculer les carrés de tête.
N2 = 10d (N + u) + u2
(N = 10d + u)
232 = 20 x 26 + 32 = 529.
Le carré d’un nombre entier est le produit de la multiplication du nombre par lui-même : n2 = n x n.
La méthode de calcul mental que nous allons apprendre est une variante de la méthode des écarts.
Le carré d’un nombre est le produit du multiple de dix le plus proche par le nombre lui-même augmenté de l’écart, auquel on additionne le carré de l’écart.
Il s’agit d’une méthode simple et efficace pour calculer de tête le carré d’un nombre entier sans calculatrice.
Vous devez juste connaître les tables de multiplication de 1 à 10.
Elle fonctionne également pour calculer le carré des nombres compris entre 6 et 9 (62, 72, 82, 92). Dans ce cas, connaitre les tables de multiplication de 1 à 5 et savoir que 10 x 10 = 100 suffit.
Les nombres que nous savons multiplier facilement sont les nombres qui se terminent par zéro.
La méthode de calcul mental que nous allons utiliser s’appuie sur le principe suivant :
Utiliser le multiple de 10 le plus proche du nombre à calculer.
Remarque :
- Pour calculer le carré du nombre 10, il suffit de rajouter un zéro au nombre : 10 x 10 = 100.
- Pour calculer le carré du nombre 100, il suffit de rajouter deux zéros au nombre : 100 x 100 = 10 000.
- Pour calculer le carré d’un nombre se terminant par 0, il suffit de calculer le carré des dizaines, puis de multiplier par 100.
- Exemple : 202 = 22 x 100 = 4 x 100 = 400.
- Explication : (10d)2 = 102 x d2 = d2 x 102 = d2 x 100.
Nous allons expliquer la méthode de calcul mental à l’aide de trois exemples.
Exemple 1 : 232 = 529.
Étape 1 : Trouver le multiple de 10 le plus proche.
Le multiple de 10 le plus proche de 23 est 20.
Étape 2 : Pré-calcul du nombre de dizaines.
Enlever 3 au premier nombre 23 pour obtenir 20 (23 – 3).
Ajouter 3 au deuxième nombre pour obtenir 26 (23 + 3).
Calculer le nombre de dizaines :
20 x 26 = 2 x 26 x 10 en décomposant 20 en 2 x 10.
2 x 26 = 52.
Le nombre de dizaines est 52.
A = premier résultat à mémoriser = 52.
Étape 3 : Pré-calcul des unités.
Nous allons calculer le carré de l’écart par rapport au multiple le plus proche.
L’écart par rapport au multiple de 10 le plus proche est 3 (23 – 20).
32 = 9.
B = deuxième résultat à mémoriser = 9.
Étape 4 : Calculer le résultat final.
Pour obtenir le résultat final, il suffit de multiplier par 10 le premier résultat et de lui ajouter le deuxième résultat.
Résultat = (10 x A) + B.
232 = (10 x 52) + 9 = 520 + 9 = 529.
Résumé.
232 = ?
Trouver le Multiple de 10 le plus proche.
20 (23 – 3).
A = Pré-calcul du nombre de dizaines.
20 x 26 = 10 x (2 x 26) = 52 dizaines.
B = Pré-calcul des unités = carré de l’écart.
Écart = 3 (23 – 20) -> 32 = 9.
Total = (10 x A) + B.
232 = (10 x 52) + 9 = 529.
Exemple 2 : 972 = 9 409.
Étape 1 : Trouver le multiple de 10 le plus proche.
Le multiple de 10 le plus proche de 97 est 100.
Étape 2 : Pré-calcul du nombre de dizaines.
Ajouter 3 au premier nombre 97 pour obtenir 100 (97 + 3).
Enlever 3 au deuxième nombre pour obtenir 94 (97 – 3).
Calculer le nombre de dizaines :
100 x 94 = 10 x 94 x 10 en décomposant 100 en 10 x 10.
10 x 94 = 940.
Le nombre de dizaines est 940.
A = premier résultat à mémoriser = 940.
Étape 3 : Pré-calcul des unités.
Nous allons calculer le carré de l’écart par rapport au multiple le plus proche.
L’écart par rapport au multiple de 10 le plus proche est 3 (100 – 97).
32 = 9.
B = deuxième résultat à mémoriser = 9.
Étape 4 : Calculer le résultat final.
Pour obtenir le résultat final, il suffit de multiplier par 10 le premier résultat et de lui ajouter le deuxième résultat.
Résultat = (10 x A) + B.
972 = (10 x 940) + 9 = 9 400 + 9 = 9 409.
Résumé.
972 = ?
Trouver le Multiple de 10 le plus proche.
100 (97 + 3).
A = Pré-calcul du nombre de dizaines.
100 x 94 = 10 x (10 x 94) = 940 dizaines.
B = Pré-calcul des unités = carré de l’écart.
Écart = 3 (100 – 3) -> 32 = 9.
Total = (10 x A) + B.
972 = (10 x 940) + 9 = 9 409.
Exemple 3 : 242 = 576.
Étape 1 : Trouver le multiple de 10 le plus proche.
Le multiple de 10 le plus proche de 24 est 20.
Étape 2 : Pré-calcul du nombre de dizaines.
Enlever 4 au premier nombre 24 pour obtenir 20 (24 – 4).
Ajouter 4 au deuxième nombre pour obtenir 28 (24 + 4).
Calculer le nombre de dizaines :
20 x 28 = 2 x 28 x 10 en décomposant 20 en 2 x 10.
2 x 28 = 56.
Le nombre de dizaines est 56.
A = premier résultat à mémoriser = 56.
Étape 3 : Pré-calcul des unités.
Nous allons calculer le carré de l’écart par rapport au multiple le plus proche.
L’écart par rapport au multiple de 10 le plus proche est 4 (24 – 20).
42 = 16.
B = deuxième résultat à mémoriser = 16.
Étape 4 : Calculer le résultat final.
Pour obtenir le résultat final, il suffit de multiplier par 10 le premier résultat et de lui ajouter le deuxième résultat.
Résultat = (10 x A) + B.
242 = (10 x 56) + 16 = 560 + 16 = 576.
Résumé.
242 = ?
Trouver le Multiple de 10 le plus proche.
20 (24 – 4).
A = Pré-calcul du nombre de dizaines.
20 x 28 = 10 x (2 x 28) = 56 dizaines.
B = Pré-calcul des unités = carré de l’écart.
Écart = 4 (24 – 20) -> 42 = 16.
Total = (10 x A) + B.
242 = (10 x 56) + 16 = 576.
Explication détaillée.
La méthode pour calculer le carré d’un nombre mentalement est simple à démontrer.
Elle s’appuie sur la formule suivante :
N2 = 10d x (N + u) + u2
N = 10d + u.
N est l’entier que nous élèverons au carré, d est le nombre de dizaines le plus proche de N et u est l’écart entre N et 10 fois d.
u est positif si N > 10d.
u est négatif si N < 10d.
Par convention, 10d = 10 x d (multiplication de 10 par d).
Nous allons démontrer la méthode des écarts est de s’appuyer sur la troisième identité remarquable.
(a + b)(a – b) = a2 – b2.
a = 10d.
b = écart = u.
(N + u)(N – u) = N2 – u2
(N + u)(N – u) + u2 = N2
N2 = (N + u)(N – u) + u2
N2 = (N – u)(N + u) + u2
N2 = (10d + u – u)(N + u) + u2
N2 = 10d x (N + u) + u2
Exercices et corrigés.
Pour s’entrainer à calculer de tête facilement, voici quelques exercices de calcul mental pour trouver le carré d’un nombre.
Vous trouverez ensuite le corrigé détaillé avec la solution pour chaque nombre au carré.
Avec de l’entrainement, vous arriverez à calculer de tête de plus en plus facilement.
Exercices.
Calculer mentalement les carrés suivants.
Corrigés détaillés.
Exercice 1 : 142 = 196.
10 est le multiple de 10 le plus proche : 14 = 10 + 4.
A = pré-calcul du nombre de dizaines : (14 – 4) x (14 + 4) = 10 x 18 = 18 dizaines.
B = pré-calcul des unités = 42 = 16.
142 = 10 A + B = 10 x 18 + 16 = 180 + 16 = 196.
Exercice 2 : 182 = 324.
20 est le multiple de 10 le plus proche : 18 = 20 – 2.
A = pré-calcul du nombre de dizaines : (18 + 2) x (18 – 2) = 20 x 16 = 10 x 2 x 16 = 32 dizaines.
B = pré-calcul des unités = 22 = 4.
182 = 10 A + B = 10 x 32 + 4 = 320 + 4 = 324.
Exercice 3 : 322 = 1 024.
30 est le multiple de 10 le plus proche : 32 = 30 + 2.
A = pré-calcul du nombre de dizaines : (32 – 2) x (32 + 2) = 30 x 34 = 10 x 3 x 34 = 102 dizaines.
B = pré-calcul des unités = 22 = 4.
322 = 10 A + B = 10 x 102 + 4 = 1 020 + 4 = 1 024.
Exercice 4 : 842 = 7 056.
80 est le multiple de 10 le plus proche : 84 = 80 + 4.
A = pré-calcul du nombre de dizaines : (84 – 4) x (84 + 4) = 80 x 88 = 10 x 8 x 88 = 10 x 8 x (80 + 8) = 10 x ((8 x 80) + (8 x 8)) = 10 x (640 + 64) = 10 x 704 = 704 dizaines.
B = pré-calcul des unités = 42 = 16.
842 = 10 A + B = 10 x 704 + 16 = 7 040 + 16 = 7 056.
Exercice 5 : 992 = 9 801.
100 est le multiple de 10 le plus proche : 99 = 100 – 1.
A = pré-calcul du nombre de dizaines : (99 + 1) x (99 – 1) = 100 x 98 = 10 x 10 x 98 = 10 x 980 = 980 dizaines.
B = pré-calcul des unités = 12 = 1.
992 = 10 A + B = 10 x 980 + 1 = 9 800 + 1 = 9 801.
Carré des nombres finissant par 5.
Pour calculer rapidement le carré d’un nombre finissant par 5, il suffit d’appliquer la formule suivante.
N2 = 100d (d + 1) + 25.
Multiplier le nombre de dizaines par le nombre qui le suit.
Accoler à droite le nombre 25.
352 = (100 x 3 x 4) + 25 = 1 200 + 25 = 1 225.
Exemple :
352 = ?
- Multiplier le nombre de dizaines par le nombre qui le suit : 3 x 4 = 12.
- Accoler à droite le nombre 25 : 1225.
Explication détaillée.
Soit un nombre N finissant par 5, notons d le nombre des dizaines.
N = 10d + 5.
Remarque : 10d = 10 x d.
Nous pouvons déduire le carré de N.
N2 = (10d + 5)2 = (10d + 5) x (10d + 5) = (10d)2 + (10d x 5) + (5 x 10d) + 52 = 100d2 + 50d + 50d + 25 = 100d2 + 100d + 25 = 100d x (d + 1) + 25.
N2 = 100d (d + 1) + 25.
Exercices et corrigés.
Exercice 1 : 152 = 225.
152 = ((10 x 1) + 5)2
- Multiplier le nombre de dizaines par le nombre qui le suit : 1 x 2 = 2.
- Accoler à droite le nombre 25 : 225.
Exercice 2 : 552 = 3 025.
552 = ((10 x 5) + 6)2
- Multiplier le nombre de dizaines par le nombre qui le suit : 5 x 6 = 30.
- Accoler à droite le nombre 25 : 3025.
Exercice 3 : 652 = 4 225.
652 = ((10 x 6) + 5)2
- Multiplier le nombre de dizaines par le nombre qui le suit : 6 x 7 = 42.
- Accoler à droite le nombre 25 : 4225.
Exercice 4 : 1052 = 11 025.
1052 = ((10 x 10) + 5)2
- Multiplier le nombre de dizaines par le nombre qui le suit : 10 x 11 = 110.
- Accoler à droite le nombre 25 : 11025.
Carré des nombres voisins.
Il existe une méthode très simple et très rapide pour calculer le carré d’un nombre voisin d’un autre.
Si vous connaissez le carré d’un nombre, vous pouvez trouver très facilement le carré du nombre que le suit ou qui le précède.
Nous avons vu, dans l’article Liste des Carrés Parfaits – les 1000 premiers carrés parfaits, deux propriétés des nombres carrés appelées identités remarquables.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Pour les nombres voisins d’un nombre dont nous connaissons le carré, nous pouvons en déduire une formule pour calculer facilement
- Le carré du nombre suivant.
- Le carré du nombre précédent.
Calculer mentalement le carré du nombre suivant.
Pour trouver rapidement le carré du nombre suivant celui d’un nombre dont nous connaissons le carré, il suffit d’appliquer la formule suivante.
(N + 1)2 = N2 + N + (N + 1)
On trouve le carré suivant en additionnant au carré connu le nombre connu et le nombre qui suit.
Exemple :
62 = 52 + 5 + 6 = 25 + 5 + 6 = 36.
Explication détaillée.
Nous allons nous appuyer sur la première identité remarquable : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
avec a = N et b = 1.
(N + 1)2 = N2 + (2 x N x 1) + 12 = N2 + 2N + 1 = N2 + N + N + 1 = N2 + N + (N + 1)
(N + 1)2 = N2 + N + (N + 1)
Exercices et corrigés.
Exercice 1 : 212 = 441
212 = (20 + 1)2 = 202 + 20 + 21 = 400 + 20 + 21 = 441
Exercice 2 : 1012 = 10 201
1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 100 + 101 = 10 000 + 100 + 101 = 10 201
Calculer mentalement le carré du nombre précédent.
Pour trouver rapidement le carré du nombre précédent celui d’un nombre dont nous connaissons le carré, il suffit d’appliquer la formule suivante.
(N – 1)2 = N2 – N – (N – 1)
On trouve le carré précédent en soustrayant au carré connu le nombre connu et le nombre qui précède.
Exemple :
92 = 102 – 10 – 9 = 100 – 10 – 9 = 81.
Explication détaillée.
Nous allons nous appuyer sur la deuxième identité remarquable : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
avec a = N et b = 1.
(N – 1)2 = N2 – 2 x N x 1 + 12 = N2 – N – (N – 1)
(N – 1)2 = N2 – N – (N – 1)
Exercices et corrigés.
Exercice 1 : 192 = 361
192 = (20 – 1)2 = 202 – 20 – 19 = 400 – 20 – 19 = 361
Exercice 2 : 992 = 9 801
992 = (100 – 1)2 = 1002 – 100 – 99 = 10 000 – 100 – 99 = 9 801
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