Calcul mental rapide – Calculer de Tête le Cube d’un nombre

Calcul mental – Calculer de tête le cube d’un nombre de deux chiffres sans calculatrice rapidement et facilement – Cours de mathématiques gratuit.

Nous commencerons par apprendre par cœur le cube des nombres jusqu’à 103, c’est à dire leur puissance de 3.

  • 13 = 1.
  • 23 = 8.
  • 33 = 27.
  • 43 = 64.
  • 53 = 125.
  • 63 = 216.
  • 73 = 343.
  • 83 = 512.
  • 93 = 729.
  • 103 = 1 000.

Vous aimeriez également calculer mentalement les nombres au cube facilement jusqu’à 1003 et plus ?

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Bonne nouvelle ! Il existe des techniques efficaces pour calculer de tête la puissance troisième de n’importe quel nombre entier jusqu’à 1003 et même plus.

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Calculer le Carré d'un nombre facilement - Calcul mental rapide.

Calcul mental rapide – Calculer le Carré d’un nombre facilement

Calcul mental – Calculer de tête le carré d’un nombre de deux chiffres sans calculatrice rapidement et facilement – Cours de mathématiques gratuit.

Vous connaissez par cœur les carrés des nombres jusqu’à 10².

  • 1² = 1.
  • 2² = 4.
  • 3² = 9.
  • 4² = 16.
  • 5² = 25.
  • 6² = 36.
  • 7² = 49.
  • 8² = 64.
  • 9² = 81.
  • 10² = 100.

Vous aimeriez calculer mentalement les nombres au carré facilement jusqu’à 100² et plus ?

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Calculer le Carré d'un nombre facilement - Calcul mental rapide.
Calculer le Carré d’un nombre facilement – Calcul mental rapide.

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Calcul Mental – Comment Multiplier les Nombres entre 10 et 20 facilement

Astuce Facile de Calcul mental pour multiplier deux nombres mentalement entre 10 et 20 rapidement.

  • 11 x 11 = 121.
  • 11 x 19 = 209.
  • 15 x 15 = 225.
  • 17 x 19 = 323.
  • 19 x 19 = 361.
  • Etc.

Vous connaissez vos tables de multiplication jusqu’à 10 x 10.

Vous aimeriez savoir faire mentalement les opérations de multiplication facilement au delà de 10 fois 10 ?

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Vous trouverez également dans ce cours de calcul mental.

  • La démonstration mathématique de la méthode employée pour le calcul mental.
  • Des exemples et des exercices corrigés pour vous entraîner.

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Comment multiplier les nombres entre 10 et 20 facilement et rapidement.
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TVA - Calcul de la TVA et de la Marge Brute.

TVA – Calcul de la TVA et de la Marge Brute

TVA – Calcul TVA et marge brute – TVA à 20%, 10%, 8,5%, 5,5%, 2,1%, etc. Comment calculer le montant de la taxe sur la valeur ajoutée (TVA), le taux de TVA, le prix hors taxes (HT), le prix toutes taxes comprises (TTC) ou la marge brute ?

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Vous voulez, par exemple, calculer la taxe sur la valeur ajoutée pour réaliser une facture ou déduire le montant de la TVA de vos achats ?

Comment calculer le prix TTC à partir du prix HT et du taux de TVA ?

Comment calculer le prix HT à partir du prix TTC et du taux de TVA ?

Comment calculer le coefficient multiplicateur ?

Quelles sont les formules de calcul de la TVA à connaitre et à utiliser ?

Vous cherchez des exercices avec corrigé de calcul de la taxe sur la valeur ajoutée pour réaliser une facture ou pour déduire le montant de la TVA de vos achats ?

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Comment Calculer le Volume d'une Sphère facilement.

Comment Calculer le Volume d’une Sphère facilement

Comment calculer le volume d’une sphère facilement.

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Le volume d’une sphère est égal à 4/3 multiplié par le nombre PI (π) et par le rayon R de la sphère au cube.

Volume de la sphère V = (4π/3) × R3, c’est-à-dire V = 4 x PI x R x R x R / 3.

Vous voulez

  • Calculer le volume d’une sphère, d’une boule.
  • Mémoriser la formule du volume d’une sphère, d’une boule.
  • Des exemples de la vie courante.
  • Connaitre la valeur du volume de la sphère pour un rayon entre 1 et 100.

Lisez ce cours de mathématiques gratuit en ligne du blog éducatif Apprendre 5 minutes pour apprendre et retenir rapidement et facilement la formule du volume de la sphère.

Consulter la liste complète des valeurs du volume de la sphère pour un rayon de 1 à 1000 en lisant cet article.

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Comment Calculer le Volume d'une Sphère facilement.
Comment Calculer le Volume d’une Sphère facilement.

Sommaire

  • Définition du volume d’une sphère.
  • Formule du volume d’une sphère.
  • Mémoriser la formule du volume de la sphère.
  • Exercices et corrigés.
    • Quel est le volume de la Terre ?
    • Quel est le volume de la Lune ?
    • Quel est le volume du ballon de football ?
    • Quel est le volume d’une boule de pétanque ?
    • Quel est le volume d’une balle de tennis de table ?
  • Valeurs du volume de la sphère pour un rayon entre 1 et 100.
  • A découvrir aussi.

Définition du volume d’une sphère.

Le volume d’une sphère ou d’une boule est le nombre d’unités cubiques qui remplit exactement une sphère.

Si le rayon est exprimé en mètre (m), alors le volume sera exprimé en mètres cubes (m3).

Calculer le volume d’une sphère, c’est calculer le volume de la boule à l’intérieur d’une sphère.

Formule du volume d’une sphère.

Le volume de l’espace délimité par une sphère – c’est-à-dire le volume de la boule qui remplit exactement la sphère – est égal à 4/3 multiplié par PI (π) et par le rayon R de la sphère au cube.

La formule de calcul du volume d’une sphère ou d’une boule de rayon R est

V = (4/3)π × R3

4/3 et le nombre π (PI) sont des constantes.

(4/3)π a pour valeur approximative 4,19.

Nous pouvons simplifier le calcul du volume V d’une sphère ou d’une boule de rayon R avec la formule

V ≈ 4,19 R3

Mémoriser la formule du volume de la sphère.

Nous avons vu dans l’article Comment mémoriser les formules mathématiques ou de physique rapidement et facilement plusieurs techniques de mémorisation pour retenir les formules.

Nous pouvons, par exemple, utiliser la méthode des liaisons – appelé  également Link Method.

Le cerveau retient une information facilement s’il peut la relier, l’associer à un autre souvenir.

Le cerveau retiendra l’histoire d’autant plus facilement qu’elle sera chargée d’émotion.

Il s’agit d’imaginer une histoire en reliant dans l’ordre chaque élément constitutif de la formule.

Les différents éléments constitutifs de la formule – 4/3, pi (π), R3 – sont abstraits.

Pour pouvoir les mémoriser, nous devons les rendre concrets.

Pour rendre concret les différents composants de  la formule, nous leur feront correspondre un mot ayant la même consonance et facile à nous représenter en faisant appel à notre mémoire visuelle.

La formule du volume de la sphère ou de la boule est la suivante :

V = (4/3)π × R3

Pour chaque élément de la formule, nous allons créer une image mentale facile à visualiser. Pour chacun d’eux, nous allons chercher un mot ayant une consonance proche ou un mot le symbolisant.

  • Volume V : haut-parleur (le volume du son est souvent symbolisé par un haut-parleur).
  • Sphère : boule.
  • 4/3 : gouttière (consonance proche).
  • pi (π) : pie (consonance proche).
  • R3: recule (consonance proche).

Nous allons créer une histoire mentale avec ces images (haut-parleur, boule, gouttière, pie, recule).

Un haut-parleur est posé sur le toit. Une boule sort du haut-parleur, se met à rouler le long de la gouttière, grossissant de plus en plus. Prise de peur, une pie recule de plus en plus vite en voyant la boule arriver sur elle.

Il ne nous reste plus qu’à visualiser mentalement l’histoire pour retenir facilement et sans effort la formule du volume de la sphère.

Vous pouvez utiliser cette méthode pour mémoriser les informations complexes. Avec l’habitude, elle est ludique et facile à utiliser.

Mémoriser devient un jeu d’enfant.

Exercices et corrigés.

Il existe de nombreux exemples de sphère ou de boule ou d’objets se rapprochant de cette forme dans la vie concrète : planète, boule de pétanque, bille, etc.

Vous trouverez ci-dessous quelques exercices avec corrigés pour apprendre à calculer le volume de la sphère ou de la boule à partir de la formule V = (4/3)π × R3.

Nous allons calculer la valeur du volume pour quelques sphères ou boules à l’aide de cas concrets.

Quel est le volume de la Terre ?

La Terre représente en première approximation une sphère dont le rayon moyen volumétrique est environ 6 371 kilomètres (km).

La formule du volume de la sphère ou de la boule est :

V = (4/3)π × R3

V = (4/3) x π x R x R x R

V ≈ 4,19 x 6371 x 6371 x 6371 ≈ 1 083 519 765 778,09 km3

V ≈ 1,083 × 1012 km3

V ≈ 1012 km3

La valeur du volume de la Terre vaut approximativement mille milliards de kilomètres cubes (un billion de kilomètres cubes).

Remarque : le volume de la Terre est de 1,083 21 × 1012 km3

Quel est le volume de la Lune ?

La Lune représente en première approximation une sphère dont le rayon moyen volumétrique est d’un peu plus de 1 737 kilomètres (km).

La formule du volume de la sphère ou de la boule est :

V = (4/3)π × R3

V = (4/3) x π x R x R x R

V ≈ 4,19 x 1737 x 1737 x 1737 ≈ 21 959 046 497,07 km3

V ≈ 2,196 × 1010 km3

V ≈ 2,2 × 1010 km3

La valeur du volume de la Lune vaut approximativement vingt-deux milliards de kilomètres cubes.

Remarque : le volume de la Lune est de 2,1958 × 1010 km3.

Quel est le volume du ballon de football ?

Le ballon de football idéal représente une sphère.

La loi n°2 de l’International Football Association Board (IFAB) – Conseil international du football association » – définit la circonférence officielle du ballon de football.

Le ballon doit être « d’une circonférence comprise entre 68 et 70 cm ».

Pour calculer le volume de la sphère associée au ballon de football, nous devons déterminer le rayon.

Nous allons déterminer le rayon du ballon de football.

La formule qui permet de calculer la circonférence d’un cercle à partir du rayon est C = 2 π R.

Nous pouvons calculer le rayon en appliquant la formule R = C / 2 π.

Le rayon du ballon de football est d’environ 11 centimètres : C = 2 x π x 11 ≈ 69,115.

La formule du volume de la sphère ou de la boule est :

V = (4/3)π × R3

V = (4/3) x π x R x R x R

V ≈ 4,19 x 11 x 11 x 11 ≈ 5 577 cm3

Volume du ballon de football ≈ 5 577 cm3

La valeur du volume du ballon de football vaut un peu moins de cinq mille six cents centimètres cubes.

Quel est le volume d’une boule de pétanque ?

Une boule de pétanque a un diamètre moyen de 7,5 centimètres (entre 7,05 et 8 cm pour une boule de pétanque de compétition).

Comme le rayon est la moitié du diamètre, la boule de pétanque représente une sphère d’un rayon de 3,75 centimètres (cm).

La formule du volume de la sphère ou de la boule est :

V = (4/3)π × R3

V = (4/3) x π x R x R x R

V ≈ 4,19 x 3,75 x 3,75 x 3,75 ≈ 221 cm3

Volume de la boule de pétanque ≈ 221 cm3

La valeur du volume de la boule de pétanque vaut approximativement deux cent vingt et un centimètres cubes.

Quel est le volume d’une balle de tennis de table ?

Une balle de tennis de table (ping-pong) a un diamètre de 40 millimètres.

Comme le rayon est la moitié du diamètre, la balle de tennis de table représente une sphère d’un rayon de 20 millimètres (mm).

La formule du volume de la sphère ou de la boule est :

V = (4/3)π × R3

V = (4/3) x π x R x R x R

V ≈ 4,19 x 20 x 20 x 20 ≈ 33 520 mm3

Si nous voulons convertir les millimètres cube en centimètres cube, nous savons que

1000 mm3 = 1 cm3

Nous obtenons

Volume de la balle de tennis de table ≈ 33,5 cm3

La valeur du volume d’une balle de tennis de table vaut un peu plus de trente trois centimètres cubes.

Valeurs du volume de la sphère pour un rayon entre 1 et 100.

  • Rayon sphère = 1 → Volume sphère = 4,19.
  • Rayon sphère = 2 → Volume sphère = 33,51.
  • Rayon sphère = 3 → Volume sphère = 113,10.
  • Rayon sphère = 4 → Volume sphère = 268,08.
  • Rayon sphère = 5 → Volume sphère = 523,60.
  • Rayon sphère = 6 → Volume sphère = 904,78.
  • Rayon sphère = 7 → Volume sphère = 1 436,76.
  • Rayon sphère = 8 → Volume sphère = 2 144,66.
  • Rayon sphère = 9 → Volume sphère = 3 053,62.
  • Rayon sphère = 10 → Volume sphère = 4 188,79.
  • Rayon sphère = 11 → Volume sphère = 5 575,28.
  • Rayon sphère = 12 → Volume sphère = 7 238,22.
  • Rayon sphère = 13 → Volume sphère = 9 202,77.
  • Rayon sphère = 14 → Volume sphère = 11 494,04.
  • Rayon sphère = 15 → Volume sphère = 14 137,17.
  • Rayon sphère = 16 → Volume sphère = 17 157,28.
  • Rayon sphère = 17 → Volume sphère = 20 579,52.
  • Rayon sphère = 18 → Volume sphère = 24 429,02.
  • Rayon sphère = 19 → Volume sphère = 28 730,91.
  • Rayon sphère = 20 → Volume sphère = 33 510,32.
  • Rayon sphère = 21 → Volume sphère = 38 792,39.
  • Rayon sphère = 22 → Volume sphère = 44 602,24.
  • Rayon sphère = 23 → Volume sphère = 50 965,01.
  • Rayon sphère = 24 → Volume sphère = 57 965,01.
  • Rayon sphère = 25 → Volume sphère = 65 449,85.
  • Rayon sphère = 26 → Volume sphère = 73 622,18.
  • Rayon sphère = 27 → Volume sphère = 82 447,96.
  • Rayon sphère = 28 → Volume sphère = 91 952,32.
  • Rayon sphère = 29 → Volume sphère = 102 160,40.
  • Rayon sphère = 30 → Volume sphère = 113 097,34.
  • Rayon sphère = 31 → Volume sphère = 124 788,25.
  • Rayon sphère = 32 → Volume sphère = 137 258,28.
  • Rayon sphère = 33 → Volume sphère = 150 532,55.
  • Rayon sphère = 34 → Volume sphère = 164 636,21.
  • Rayon sphère = 35 → Volume sphère = 179 594,38.
  • Rayon sphère = 36 → Volume sphère = 195 432,20.
  • Rayon sphère = 37 → Volume sphère = 212 174,79.
  • Rayon sphère = 38 → Volume sphère = 229 847,30.
  • Rayon sphère = 39 → Volume sphère = 248 474,85.
  • Rayon sphère = 40 → Volume sphère = 268 082,57.
  • Rayon sphère = 41 → Volume sphère = 288 695,61.
  • Rayon sphère = 42 → Volume sphère = 310 339,09.
  • Rayon sphère = 43 → Volume sphère = 333 038,14.
  • Rayon sphère = 44 → Volume sphère = 356 817,90.
  • Rayon sphère = 45 → Volume sphère = 381 703,51.
  • Rayon sphère = 46 → Volume sphère = 407 720,08.
  • Rayon sphère = 47 → Volume sphère = 434 892,77.
  • Rayon sphère = 48 → Volume sphère = 463 246,69.
  • Rayon sphère = 49 → Volume sphère = 492 806,98.
  • Rayon sphère = 50 → Volume sphère = 523 598,78.
  • Rayon sphère = 51 → Volume sphère = 555 647,21.
  • Rayon sphère = 52 → Volume sphère = 588 977,41.
  • Rayon sphère = 53 → Volume sphère = 623 614,52.
  • Rayon sphère = 54 → Volume sphère = 659 583,66.
  • Rayon sphère = 55 → Volume sphère = 696 909,97.
  • Rayon sphère = 56 → Volume sphère = 735 618,58.
  • Rayon sphère = 57 → Volume sphère = 775 734,62.
  • Rayon sphère = 58 → Volume sphère = 817 83,23.
  • Rayon sphère = 59 → Volume sphère = 860 289,54.
  • Rayon sphère = 60 → Volume sphère = 904 778,68.
  • Rayon sphère = 61 → Volume sphère = 950 775,79.
  • Rayon sphère = 62 → Volume sphère = 998 305,99.
  • Rayon sphère = 63 → Volume sphère = 1 047 394,42.
  • Rayon sphère = 64 → Volume sphère = 1 098 066,22.
  • Rayon sphère = 65 → Volume sphère = 1 150 346,51.
  • Rayon sphère = 66 → Volume sphère = 1 204 260,43.
  • Rayon sphère = 67 → Volume sphère = 1 259 833,11.
  • Rayon sphère = 68 → Volume sphère = 1 317 089,68.
  • Rayon sphère = 69 → Volume sphère = 1 376 055,28.
  • Rayon sphère = 70 → Volume sphère = 1 436 755,04.
  • Rayon sphère = 71 → Volume sphère = 1 499 214,09.
  • Rayon sphère = 72 → Volume sphère = 1 563 457,57.
  • Rayon sphère = 73 → Volume sphère = 1 629 510,60.
  • Rayon sphère = 74 → Volume sphère = 1 697 398,32.
  • Rayon sphère = 75 → Volume sphère = 1 767 145,87.
  • Rayon sphère = 76 → Volume sphère = 1 838 778,37.
  • Rayon sphère = 77 → Volume sphère = 1 912 320,96.
  • Rayon sphère = 78 → Volume sphère = 1 987 798,77.
  • Rayon sphère = 79 → Volume sphère = 2 065 236,93.
  • Rayon sphère = 80 → Volume sphère = 2 144 660,58.
  • Rayon sphère = 81 → Volume sphère = 2 226 094,86.
  • Rayon sphère = 82 → Volume sphère = 2 309 564,88
  • Rayon sphère = 83 → Volume sphère = 2 395 095,78.
  • Rayon sphère = 84 → Volume sphère = 2 482 712,71
  • Rayon sphère = 85 → Volume sphère = 2 572 440,78.
  • Rayon sphère = 86 → Volume sphère = 2 664 305,14.
  • Rayon sphère = 87 → Volume sphère = 2 758 330,92.
  • Rayon sphère = 88 → Volume sphère = 2 854 543,24.
  • Rayon sphère = 89 → Volume sphère = 2 952 967,24.
  • Rayon sphère = 90 → Volume sphère = 3 053 628,06.
  • Rayon sphère = 91 → Volume sphère = 3 156 550,82.
  • Rayon sphère = 92 → Volume sphère = 3 261 760,67.
  • Rayon sphère = 93 → Volume sphère = 3 369 282,72.
  • Rayon sphère = 94 → Volume sphère = 3 479 142,12.
  • Rayon sphère = 95 → Volume sphère = 3 591 364,00.
  • Rayon sphère = 96 → Volume sphère = 3 705 973,49.
  • Rayon sphère = 97 → Volume sphère = 3 822 995,72.
  • Rayon sphère = 98 → Volume sphère = 3 942 455,83.
  • Rayon sphère = 99 → Volume sphère = 4 064 378,95.
  • Rayon sphère = 100 → Volume sphère = 4 188 790,20.

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Chiffre romain – comment apprendre la numération romaine facilement

Apprendre les Chiffres Romains et les Mémoriser facilement.

Les chiffres romains sont utilisés en histoire, en chimie, dans la numérotation des films ou des pages, sur les cadrans des horloges ou des montres, etc.

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Lisez cet article d’ Apprendre 5 minutes pour apprendre comment lire, écrire et mémoriser vite et facilement les chiffres et les nombres romains grâce à notre cours de mathématiques en ligne gratuit.

La numérotation romaine est un système de numérotation additive à partir de 7 lettres représentant des chiffres.

Vous trouverez également dans cet articles de nombreux exemples, exercices et corrigés et des jeux mathématiques avec les chiffres romains pour bien comprendre, apprendre et retenir le système de numération romaine.

Les chiffres romains deviendront un jeu d’enfant.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

Comment apprendre les chiffres romains
Comment apprendre les chiffres romains

Sommaire

  • La liste des chiffres romains.
  • Comment mémoriser la liste des chiffres romains.
    • Le poème de Jacques Prévert « Les belles familles ».
    • La phrase mnémonique.
    • La technique de l’arc-en-ciel.
    • Le système de crochets mnémoniques couleur.
    • Le système des liaisons.
    • Techniques de mémorisation kinesthésique.
  • Le système de numération romain.
    • Règles de composition des nombres romains de 1 à 4999.
    • Les grands nombres romains.
    • Les fractions.
  • Les chiffres romains de 1 à 100.
  • Exercices et corrigés.
  • Jeux avec les chiffres romains.
    • Le message codé.
    • Autres jeux.
  • A découvrir aussi.

La liste des chiffres romains.

Le système de numérotation romaine se base sur la combinaisons de 7 lettres permettant de composer les nombres.

Les chiffres romains composent les nombres romains par addition ou soustraction de lettres.

Les 7 lettres composant les chiffres romains sont les suivantes :

  • I : 1.
  • V : 5.
  • X : 10.
  • L : 50.
  • C : 100.
  • D : 500.
  • M : 1000.

Comment mémoriser la liste des chiffres romains.

Il existe plusieurs moyens mnémotechniques simples pour mémoriser dans l’ordre la liste des chiffres romains.

Le poème de Jacques Prévert « Les belles familles ».

Le poème de Prévert « Les belles familles » est un moyen mnémotechnique faisant appel à la mémoire auditive pour aider les enfants à mémoriser les premiers nombres écrits avec des chiffres romains.

Le poème « Les belles familles » de Jacques Prévert, extrait du recueil de poèmes « Paroles »,  permet de retrouver les principaux chiffres romains et d’écrire et compter jusqu’à 18 en chiffres romains de façon ludique avec les rois de France dont le nom commencent par Louis.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

Les belles familles - poème de Jacques Prévert.
Les belles familles – poème de Jacques Prévert.

« Louis I

Louis II

Louis III

Louis IV

Louis V

Louis VI

Louis VII

Louis VIII

Louis IX

Louis X (dit le Hutin)

Louis XI

Louis XII

Louis XIII

Louis XIV

Louis XV

Louis XVI

Louis XVII

Louis XVIII

et plus personne plus rien…

qu’est-ce que c’est que ces gens-là

qui ne sont pas foutus

de compter jusqu’à vingt ? »

La phrase mnémonique.

Vous pouvez, par exemple, apprendre l’une des phrases mnémotechniques suivantes :

« Il voit exploser le chiffre des milliers. »

  • I : il.
  • V : voit.
  • X : exploser.
  • L : le.
  • C : chiffre.
  • D : des.
  • M : milliers.

Si vous voulez une accroche mémoire plus importante, vous pouvez créer une association mentale entre le chiffre romain I et la déesse de la mythologie romaine et grecque Iris. Iris est « la messagère de tous les dieux éternels ».

 Les poètes considéraient l’arc-en-ciel comme la trace du pied de la déesse Iris descendant rapidement de l’Olympe vers la terre pour porter un message.

Elle est représentée souvent avec un arc-en-ciel. C’est la déesse de l’arc-en-ciel. Iris personnifie l’arc-en-ciel.

Vous pouvez retenir la phrase mnémonique :

« Iris voit exploser le chiffre des milliers. »

ou

« Iris va explorer les couleurs du monde. »

  • I : Iris.
  • V : va.
  • X : explorer.
  • L : les.
  • C : couleurs.
  • D : du.
  • M : monde.

La technique de l’arc-en-ciel.

La technique de l’arc en ciel fait appel à la mémoire visuelle et à la mémoire kinesthésique.

Pour mémoriser avec la technique de l’arc-en-ciel, il s’agit de créer une association mentale entre les 7 lettres symboles représentant les chiffres romains I, V, X, L, C, D, M et les 7 couleurs de l’arc-en-ciel rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo, violet.

Vous pouvez faire l’association mentale en prenant les couleurs de l’arc-en-ciel de la droite vers la gauche – rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo, violet – ou de la gauche vers la droite – violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge.

Il existe un moyen mnémotechnique basé sur les acronymes – mot formé par les initiales – pour se souvenir des couleurs de l’arc-en-ciel de gauche à droite :

« VIBUJOR.« 

  • V : violet.
  • I : indigo.
  • B : bleu.
  • U : vert (utilisé pour le vert au lieu de V par l’euphonie, pour que le mot soit plus facile à prononcer).
  • J : jaune.
  • O : orange.
  • R : rouge.

Pour créer une association mentale en un chiffre romain et une couleur de l’arc-en-ciel, vous pouvez imaginer par exemple le chiffre romain en haut de l’arc-en-ciel, placé sur un couleur. Le chiffre romain se sert de l’arc-en-ciel comme un toboggan, glisse jusqu’en bas et renverse le nombre correspondant.

« Le chiffre romain X est placé sur la couleur bleu, glisse sur le toboggan et renverse le nombre 10. »

Le système de crochets mnémoniques couleur.

Si mémoriser une couleur, une lettre ou un chiffre est trop abstrait pour vous et que vous avez du mal à vous les représenter mentalement, vous pouvez les associer à un animal, un personnage ou un objet.

Pour la couleur, vous pouvez utiliser les images mentales suivantes :

  • Violet : violette.
  • Indigo : passerin indigo (oiseau d’Amérique du Nord dont le mâle a un plumage bleu indigo en été).
  • Bleu : ciel ou mer.
  • Vert : forêt ou prairie.
  • Jaune : jaune d’œuf ou œuf à la poêle.
  • Orange : orange (fruit).
  • Rouge : coquelicot.

Pour les chiffres romains I, V, X, L, C, D, M vous pouvez utiliser l’alphabet forme que nous avions vu dans l’article Comment mémoriser rapidement avec l’alphabet.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

Table de rappel alphabet-forme
Table de rappel alphabet-forme

(Conception graphique : TinaRebou.com)

  • I : bougie.
  • V : oiseau en vol.
  • X : ciseaux.
  • L : équerre.
  • C : lune.
  • D : arc.
  • M : pont.

Pour les nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 vous pouvez utiliser la table de rappel du grand système que nous avions vu dans l’article Comment mémoriser facilement les chiffres ou les nombres.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

table de rappel
Exemple de table de rappel, appelée aussi grand système, pour mémoriser facilement les chiffres.
  • 1 : toit.
  • 5 : lion.
  • 10 : tasse.
  • 50 : lasso.
  • 100 : danseuse.
  • 500 : alsacienne.
  • 1000 : (dix) des saucisses, dissociation.

Pour créer une association mentale entre le chiffre romain et le nombre, vous pouvez imaginer une histoire avec images mentales les symbolisant.

Si nous reprenons l’exemple pour le nombre 10, nous devons imaginer une histoire avec une paire de ciseaux – qui symbolise le chiffre romain X – et une tasse – qui symbolise le nombre 10. Pour renforcer la mémorisation, nous pouvons rajouter le ciel ou la mer – qui symbolisent la couleur bleu – comme accroche mémorielle.

« Une paire de ciseaux tombe du ciel sur une tasse et la brise en morceaux. »

Vous procéder de même pour les autres chiffres romains.

Le système des liaisons.

Vous pouvez utiliser d’autres techniques de mémorisation. Utilisez celle qui vous permettra de retenir le mieux les chiffres romains.

Vous pouvez par exemple, utiliser comme moyen mnémotechnique le système des liaisons.

Le système des liaisons – appelé également méthode des chaînes ou méthode des liens – est une technique de mémorisation permettant de retenir une liste d’informations en créant une association mentale, appelée lien, entre les éléments consécutifs de la liste.

Chaque élément de la liste est relié au suivant.

La méthode des chaînes permet de mémoriser n’importe quel groupe d’informations dans l’ordre.

Nous allons associer chaque chiffre romain à une image concrète facilement mémorisable.

Puis, nous allons relier les informations, rendues concrètes, entre elles pour créer une histoire.

Cette histoire va nous permettre de retrouver dans l’ordre les chiffres romains.

Nous allons reprendre les images de l’alphabet forme.

  • I : bougie.
  • V : oiseau en vol.
  • X : ciseaux.
  • L : équerre.
  • C : lune.
  • D : arc.
  • M : pont.

Nous voyons une bougie allumée. La flamme de la bougie se détache de la bougie et se transforme en oiseau qui vole. L’oiseau tient dans ses pattes une paire de ciseaux. L’oiseau se pose, coupe une équerre en deux avec les ciseaux, prend les morceaux de l’équerre et les emporte jusqu’à la lune. Puis, il prend un arc et se sert d’un morceau de l’équerre comme d’une flèche qu’il envoie sur un pont.

Nous avons imaginez une histoire facile à visualiser et à retenir.

Si vous voulez mémoriser également les valeurs, il suffit d’intercaler entre chaque chiffre romain l’image mentale qui correspond à la valeur du chiffre romain.

Techniques de mémorisation kinesthésique.

La mémoire kinesthésique, c’est la mémoire du mouvement, des émotions.

L’intelligence kinesthésique, c’est l’intelligence du mouvement et des émotions. C’est percevoir, maitriser et interpréter les émotions, les mouvements du corps, c’est manipuler des objets avec soin, faire des expériences.

Elle se développe par la pratique intense et l’expertise.

Les danseurs, les chirurgiens, les artisans, les artistes la développent et y recourent fréquemment.

Apprendre avec la mémoire kinesthésique, c’est apprendre en faisant appel à la stratégie de mémorisation BARMAN :

  • B : Bouger.
  • A : Être actif.
  • R : Ressentir.
  • MAN : Manipuler.

Vous pouvez apprendre les chiffres romain naturellement, en vous amusant et sans effort de plusieurs manières :

  • Apprendre en marchant.
  • Écrire, dessiner, colorier, découper les lettres et les nombres correspondant aux chiffres romains.
  • Fabriquer un toboggan arc-en-ciel pour y faire glisser les chiffres romains jusqu’au nombre correspondant.
  • Créer des cartes mémoire, un jeu de questions-réponses, des quiz et jouer avec.
  • Jouer au maître ou au professeur en essayant à votre tour d’apprendre aux autres les chiffres romains.
  • Etc.

Le système de numération romain.

Pour représenter les nombres romains à partir des 7 lettres symboles I, V, X, L, C, D, M, le système de numération romaine, basé sur l’addition et la soustraction,  utilise les règles suivantes.

Règles de composition des nombres romains de 1 à 4999.

  • Un nombre romain se lit de la gauche vers la droite.
  • Un symbole romain ne peut être utilisé quatre fois de suite, sauf le M (1000).
  • Un symbole romain qui suit un symbole romain de valeur supérieure ou égale s’ajoute à celui-ci : par exemple, VI s’écrit 6 en nombre arabe (VI = 5 + 1 = 6).
  • Un symbole romain qui précède un symbole romain de valeur supérieure se soustrait à celui-ci : par exemple, IV s’écrit 4 en nombre arabe (IV = -1 + 5 = 5 – 1 = 4).
  •  Ne pas soustraire un symbole romain à un autre symbole romain d’une valeur plus de dix fois supérieure : par exemple, 49 s’écrit XLIX (XLIX = -10 + 50 -1 +10 = 40 + 9) et non IL (IL = -1 + 50 = interdit).
  • Les symboles romains sont groupés par ordre décroissant. Un nombre romain s’écrit de la gauche vers la droite : Les milliers, puis les centaines, puis les dizaines, puis les unités. Par exemple,
    • Pour convertir 1666 en chiffres romains, vous allez écrire MDCLXVI (MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666).
    • Pour convertir 2017 en chiffres romains, vous allez écrire MMXVII (MMXVII = 1000 + 1000 + 10 + 5 + 1 + 1 = 2000 + 10 + 7 = 2017).
    • Pour convertir 4999 en chiffres romains, vous allez écrire MMMMCMXCIX (MMMMCMXCIX = MMMM CM XC IX = 1000 + 1000 + 1000 + 1000 – 100 + 1000 – 10 +100 -1 +10 = 4000 + 900 + 90 + 9 = 4999).

Les grands nombres romains.

Pour les grandes nombre supérieurs ou égal à 5000, il existe une extension de la notation romaine.

  • Un symbole romain surmonté d’un trait horizontale indique que le nombre doit être multiplié par mille.
  • Un symbole romain surmonté de deux traits horizontaux indique que le nombre doit être multiplié par un million.
  • Un symbole romain surmonté de trois traits horizontaux indique que le nombre doit être multiplié par un milliard.

Par exemple :

____
VIII =  8 000
_
X    = 10 000

Les fractions.

Le système de numération romain pour noter les fractions est un système duodécimal est un système de numération en base 12.

12 se divise plus facilement que 10. 12 se divise par les entiers 2, 3, 4, 6 et 12 et facilite le partage – moitié, tiers, quart, sixième, douzième.

10 ne se divise qu’en 2, 5 et 10.

En notation romaine, les fractions s’écrivent de la manière suivante :

  • 1/12 : . (uncia)
  • 2/12 = 1/6 : .. (sextans)
  • 3/12 = 1/4 : (quadrans)
  • 4/12 = 1/3 : …. (triens)
  • 5/12 : ….. (quincunx)
  • 6/12 = 1/2 : S (semis)
  • 7/12 : S. (septunx)
  • 8/12 = 2/3 : S.. (bes)
  • 9/12 = 3/4 : S… (dodrans)
  • 10/12 = 5/6 : S…. (decunx)
  • 11/12 : S….. (deunx)
  • 12/12 = 1 : I (as)

Les chiffres romains de 1 à 100.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

Les chiffres romains de 1 à 100.
Les chiffres romains de 1 à 100.

Les chiffres romains de 1 à 10.

  • 1 en chiffre romain s’écrit I.
  • 2 en chiffre romain s’écrit II.
  • 3 en chiffre romain s’écrit III.
  • 4 en chiffre romain s’écrit IV : soustraire 1 (I) de 5 (V). Une exception sur les cadrans des horloges et des montres : le chiffre 4 s’écrit IIII.
  • 5 en chiffre romain s’écrit V.
  • 6 en chiffre romain s’écrit VI : additionner 5 (V) et 1 (I).
  • 7 en chiffre romain s’écrit VII.
  • 8 en chiffre romain s’écrit VIII.
  • 9 en chiffre romain s’écrit IX : soustraire 1 (I) de 10 (X).
  • 10 en chiffre romain s’écrit X.

Les chiffres romains de 11 à 20.

  • 11 en chiffre romain s’écrit XI.
  • 12 en chiffre romain s’écrit XII.
  • 13 en chiffre romain s’écrit XIII.
  • 14 en chiffre romain s’écrit XIV : écrire 10 (X), puis soustraire 1 (I) de 5 (V).
  • 15 en chiffre romain s’écrit XV.
  • 16 en chiffre romain s’écrit XVI : écrire 10 (X), puis additionner 5 (V) et 1 (I).
  • 17 en chiffre romain s’écrit XVI.
  • 18 en chiffre romain s’écrit XVIII.
  • 19 en chiffre romain s’écrit XIX : écrire 10 (X), puis soustraire 1 (I) de 10 (X).
  • 20 en chiffre romain s’écrit XX.

Les chiffres romains de 21 à 30.

  • 21 en chiffre romain s’écrit XXI.
  • 22 en chiffre romain s’écrit XXII.
  • 23 en chiffre romain s’écrit XXIII.
  • 24 en chiffre romain s’écrit XXIV.
  • 25 en chiffre romain s’écrit XXV.
  • 26 en chiffre romain s’écrit XXVI.
  • 27 en chiffre romain s’écrit XXVII.
  • 28 en chiffre romain s’écrit XXVIII.
  • 29 en chiffre romain s’écrit XXIX.
  • 30 en chiffre romain s’écrit XXX.

Les chiffres romains de 31 à 40.

  • 31 en chiffre romain s’écrit XXXI.
  • 32 en chiffre romain s’écrit XXXII.
  • 33 en chiffre romain s’écrit XXXIII.
  • 34 en chiffre romain s’écrit XXXIV.
  • 35 en chiffre romain s’écrit XXXV.
  • 36 en chiffre romain s’écrit XXXVI.
  • 37 en chiffre romain s’écrit XXXVII.
  • 38 en chiffre romain s’écrit XXXVIII.
  • 39 en chiffre romain s’écrit XXXIX.
  • 40 en chiffre romain s’écrit XL : soustraire 10 (X) de 50 (L).

Les chiffres romains de 41 à 50.

  • 41 en chiffre romain s’écrit XLI.
  • 42 en chiffre romain s’écrit XLII.
  • 43 en chiffre romain s’écrit XLIII.
  • 44 en chiffre romain s’écrit XLIV.
  • 45 en chiffre romain s’écrit XLV.
  • 46 en chiffre romain s’écrit XLVI.
  • 47 en chiffre romain s’écrit XLVII.
  • 48 en chiffre romain s’écrit XLVIII.
  • 49 en chiffre romain s’écrit XLIX.
  • 50 en chiffre romain s’écrit L.

Les chiffres romains de 51 à 60.

  • 51 en chiffre romain s’écrit LI.
  • 52 en chiffre romain s’écrit LII.
  • 53 en chiffre romain s’écrit LIII.
  • 54 en chiffre romain s’écrit LIV.
  • 55 en chiffre romain s’écrit LV.
  • 56 en chiffre romain s’écrit LVI.
  • 57 en chiffre romain s’écrit LVII.
  • 58 en chiffre romain s’écrit LVIII.
  • 59 en chiffre romain s’écrit LIX.
  • 60 en chiffre romain s’écrit LX.

Les chiffres romains de 61 à 70.

  • 61 en chiffre romain s’écrit LXI.
  • 62 en chiffre romain s’écrit LXII.
  • 63 en chiffre romain s’écrit LXIII.
  • 64 en chiffre romain s’écrit LXIV.
  • 65 en chiffre romain s’écrit LXV.
  • 66 en chiffre romain s’écrit LXVI.
  • 67 en chiffre romain s’écrit LXVII.
  • 68 en chiffre romain s’écrit LXVIII.
  • 69 en chiffre romain s’écrit LXIX.
  • 70 en chiffre romain s’écrit LXX.

Les chiffres romains de 71 à 80.

  • 71 en chiffre romain s’écrit LXXI.
  • 72 en chiffre romain s’écrit LXXII.
  • 73 en chiffre romain s’écrit LXXIII.
  • 74 en chiffre romain s’écrit LXXIV.
  • 75 en chiffre romain s’écrit LXXV.
  • 76 en chiffre romain s’écrit LXXVI.
  • 77 en chiffre romain s’écrit LXXVII.
  • 78 en chiffre romain s’écrit LXXVIII.
  • 79 en chiffre romain s’écrit LXXIX.
  • 80 en chiffre romain s’écrit LXXX.

Les chiffres romains de 81 à 90.

  • 81 en chiffre romain s’écrit LXXXI.
  • 82 en chiffre romain s’écrit LXXXII.
  • 83 en chiffre romain s’écrit LXXXIII.
  • 84 en chiffre romain s’écrit LXXXIV.
  • 85 en chiffre romain s’écrit LXXXV.
  • 86 en chiffre romain s’écrit LXXXVI.
  • 87 en chiffre romain s’écrit LXXXVII.
  • 88 en chiffre romain s’écrit LXXXVIII.
  • 89 en chiffre romain s’écrit LXXXIX.
  • 90 en chiffre romain s’écrit XC : soustraire 10 (X) de 100 (C).

Les chiffres romains de 91 à 100.

  • 91 en chiffre romain s’écrit XCI.
  • 92 en chiffre romain s’écrit XCII.
  • 93 en chiffre romain s’écrit XCIII.
  • 94 en chiffre romain s’écrit XCIV.
  • 95 en chiffre romain s’écrit XCV.
  • 96 en chiffre romain s’écrit XCVI.
  • 97 en chiffre romain s’écrit XCVII.
  • 98 en chiffre romain s’écrit XCVIII.
  • 99 en chiffre romain s’écrit XCIX.
  • 100 en chiffre romain s’écrit C.

Si vous voulez consulter la liste des chiffres et nombres romains de 1 à 5 000 et plus, lisez notre article Les chiffres romains de 1 à 5000.

Article détaillé : Les chiffres romains de 1 à 5000

Exercices et corrigés.

Pour vous exercez, voici quelques exercices avec leurs corrigés sur les chiffres romains.

Exercice 1

Convertir les nombres suivants en chiffres romains.

25, 53, 139, 2018

25 = 10 + 10 + 5 = XXV

53 = 50 + 3 = LIII

139 = 100 + 30 + 9 = CXXXIX

2018 = 2000 + 10 +8 = MMXVIII

Exercice 2

Convertir les nombres suivants en chiffres arabes.

XXVI, LXVIII, MCCXXVII MCMXCIX

XXVI = 10 + 10 + 5 + 1 = 26

LXVIII = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 68

MCCXXVII = 1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 1227

MCMXCIX = 1000 + 900 ( CM = -100 + 1000 = 900) + 90 ( XC = -10 + 100 = 90) + 9 (IX = -1 + 10 = 9) = 1999

Exercice 3

Écrire les années en chiffres romains.

2017 en chiffres romains = MMXVII.

2018 en chiffres romains = MMXVIII.

2019 en chiffres romains = MMXIX.

2020 en chiffres romains = MMXX.

2021 en chiffres romains = MMXXI.

2022 en chiffres romains = MMXXII.

2023 en chiffres romains = MMXXIII.

2024 en chiffres romains = MMXXIV.

2025 en chiffres romains = MMXXV.

Exercice 4

Écrire une date de naissance en chiffre romain.

L’écriture d’une date en chiffres romains n’a pas de règle autre que de séparer le jour, le mois et l’année.

Les séparateurs les plus utilisés sont

  • L’espace : 25 décembre 2017 en chiffres romains s’écrit XXV XII MMXVII.
  • La barre oblique / : 01 janvier 2018 en chiffres romains s’écrit I / I / MMXVIII.
  • Le tiret – : 24 juin 1987 en chiffres romains s’écrit XXIV – VI – MCMLXXXVII (date de naissance du célèbre joueur international de football argentin Lionel Messi).

Exercice 5

Convertir les dates des événements suivant en chiffres romains.

Date d’ouverture des jeux olympiques d’hiver de 2018 à PyeongChang en Corée du Sud : 9 février 2018.

9 février 2018 en chiffres romains : IX II MMXVIII.

Date de la cérémonie de clôture des jeux olympiques d’hiver de 2018 à PyeongChang en Corée du Sud : 25 février 2018.

25 février 2018 en chiffres romains : XXV II MMXVIII.

Date de la première croisade : 27 novembre 1095 – Le pape Urbain II lance la première Croisade.

27 novembre 1095 en chiffres romains : XXVII II MXCV.

Date de la prise de la Bastille : 14 juillet 1789 – événement emblématique de la Révolution française.

14 juillet 1789 en chiffres romains : XIV VII MDCCLXXXIX.

Date de début de la première guerre mondiale : 3 août 1914 – L’Allemagne déclare la guerre à la France.

3 août 1914 : III VIII MCMXIV.

Armistice de 1918 : 11 novembre 1918 – Capitulation de l’Allemagne à Rethondes : fin des combats de la Première Guerre mondiale.

11 novembre 1918 : XI XI MCMXVIII.

Date de début de la cinquième république : 4 octobre 1958 – Régime politique actuel de la France.

4 octobre 1958 : IV X MCMLVIII.

Jeux avec les chiffres romains.

Une des meilleures façons de d’apprendre et de retenir les chiffres romains, c’est de les utiliser.

Les jeux sont un bon moyen pour retenir ce que nous voulons apprendre sans effort et avec plaisir.

Comprendre les chiffres romains en s’amusant c’est possible et c’est facile à faire.

Le message codé.

Le jeu du message codé est un exemple ludique, facile à réaliser.

Pour rappel, les 7 lettres symboles représentant les chiffres romains ont  les valeurs suivantes :

  • I : 1
  • V : 5
  • X : 10
  • L : 50
  • C : 100
  • D : 500
  • M : 1000

Nous allons coder en chiffre romain les 26 lettres de l’alphabet d A à Z en fonction de leur numéro d’ordre dans le système alphabétique.

  • A = 1 = I
  • B = 2 = II
  • C = 3 = III
  • D = 4 = IV
  • E = 5 = V
  • F = 6 = VI
  • G = 7 = VII
  • H = 8 = VIII
  • I = 9 = IX
  • J = 10 = X
  • K = 11 = XI
  • L = 12 = XII
  • M = 13 = XIII
  • N = 14 = XIV
  • O = 15 = XV
  • P = 16 = XVI
  • Q = 17 = XVII
  • R = 18 = XVIII
  • S = 19 = XIX
  • T = 20 = XX
  • U = 21 = XXI
  • V = 22 = XXII
  • W = 23 = XXIII
  • X = 24 = XXIV
  • Y = 25 = XXV
  • Z = 26 = XXVI

Voici un exemple de jeu avec la solution.

Le jeu : déchiffrez le message codé ci-dessous.

« II XVIII I XXII XV

XX XXI

I XIX

XX XVIII XV XXI XXII V »

Pour trouver le message codé qui se cache derrière les nombres écrits en chiffres romains,

  • Prendre chaque nombre écrit en chiffres romains.
  • Le convertir en nombre en chiffre arable.
  • Trouver la lettre de l’alphabet correspondant.
  • Former un mot avec les lettres trouvées.
  • Passer à la ligne suivante pour décoder le mot suivant.
  • Procéder comme précédemment pour trouver le deuxième mot codé.
  • Passer à la ligne suivante pour décoder le troisième mot et ainsi de suite.
  • Les mots trouvés formes le message codé.

Nous allons décoder la première ligne écrite en chiffres romains.

  • II = 2 = B (B est la deuxième lettre de l’alphabet)
  • XVIII = 18 = R (R est la dix huitième lettre de l’alphabet)
  • I = 1 = A (A est la première lettre de l’alphabet)
  • XXII = 22 = V (V est la vingt deuxième lettre de l’alphabet)
  • XV = 15 = O (O est la quinzième lettre de l’alphabet)

Les lettres trouvées forment le mot BRAVO.

Nous allons maintenant décoder la deuxième ligne écrite en chiffres romains.

  • XX = 20 = T
  • XXI = 21 = U

Les lettres trouvées forment le mot TU.

Nous allons maintenant décoder la troisième ligne écrite en chiffres romains.

  • I = 1 = A
  • XIX = 19 = S

Les lettres trouvées forment le mot AS.

Nous allons maintenant décoder la dernière ligne écrite en chiffres romains.

  • XX = 20 = T
  • XXVIII = 18 = R
  • XV = 15 = O
  • XXI = 21 = U
  • XXII = 22 = V
  • V = 5 = E

Les lettres trouvées forment le mot TROUVE.

Nous allons maintenant rassembler les mots décodés pour trouver le message codé.

« BRAVO TU AS TROUVE »

La solution du jeu du message codé est « Bravo, tu as trouvé. »

Amusez-vous à créer des jeux pour retenir facilement et sans effort les chiffres romains.

Autres jeux.

Le message codé est un exemple de jeu. Ce n’est pas le seul. Laissez libre cours à votre imagination.

Vous pouvez, par exemple,

  • Lancer un dé et convertir le nombre trouvé en chiffre romain. Lancer à nouveau le dé, additionner le nombre trouvé avec le premier nombre, puis convertir le résultat en chiffre romain. Continuer ainsi jusqu’à avoir lancé le dé une dizaine de fois. Celui qui a obtenu le plus grand nombre à gagné.
  • Prendre une image, un tableau ou le créer vous même, compter les différents éléments et les écrire en chiffres romains.
  • Prendre un mot du dictionnaire, extraire les lettres correspondant à des chiffres romains et les convertir en nombres.

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La factorisation, c’est écrire une expression algébrique sous la forme d’un produit pour la simplifier et résoudre des équations.

Lisez cet article d’Apprendre 5 minutes et vous saurez comment factoriser une expression mathématique et réussir vos exercices. La factorisation deviendra un jeu d’enfant.

Sommaire

Factoriser – définition

Factoriser permet de transformer une expression mathématique (une somme ou une différence, par exemple) en un produit.

Factoriser, c’est mettre en commun un facteur de l’expression mathématique (algébrique).

Un facteur est un des éléments constitutifs de la multiplication. Par exemple, l’expression mathématique « 4 × 3 » comprend  deux facteurs 4 et 3; l’expression mathématique 3 × 5 × 7 a pour facteurs 3, 5 et 7.

L’opération inverse de la factorisation est le développement de l’expression mathématique (algébrique).

Sommaire.

Pourquoi factoriser ? A quoi sert la factorisation ?

Nous nous en servons en particulier quand il est plus facile, plus simple de calculer un produit qu’une somme pour obtenir le résultat.

Pourquoi factoriser ?

Deux cas de figure :

1 – Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue pour laquelle ou lesquelles l’égalité est vérifiée.

Par exemple, résoudre l’équation «  +6x + 8 = 0″ peut paraitre difficile.

Par contre, une fois factorisée, elle devient « (x+2)(x+4) = 0 », ce qui est plus facile à résoudre.

2 – Simplifier une expression mathématique (algébrique)

Simplifier , c’est trouver un ou plusieurs facteurs communs qui vont permettre de réduire l’expression algébrique.

Par exemple, « (2x+10)(3x+2) + (2x+10)² »

devient « (2x+10)((3x+2)+(2x+10)) »,

puis « (2x+10)(5x+12) »;

(2x+10) étant le facteur commun.

A quoi sert la factorisation dans la vie ?

Dans la vie courante, nous nous servons souvent de la factorisation.

En voici un exemple concret : préparer un anniversaire.

Vous voulez envoyer un SMS ou un mail à vos amis pour les inviter.

Vous avez deux solutions :

  • Vous écrivez le SMS ou le mail à votre premier ami, vous lui envoyez, puis vous écrivez à nouveau le même SMS ou mail pour votre deuxième ami et vous lui envoyez et ainsi de suite, ce qui peut vite devenir fastidieux.
  • Ou vous écrivez le SMS ou le mail une seule fois et vous l’envoyez à vos invités en une seule fois.

Vous obtenez le même résultat mais, avec la deuxième solution, vous avez économisez votre temps et réduit vos efforts.

Pour les maths, factoriser c’est la même chose : « mail pour ami 1″ +, »mail pour ami 2 » = « mail » pour « ami 1 + ami 2 ».

Nous venons de factoriser le facteur « mail ».

Factoriser, c’est trouver ce qui est en commun dans une expression et le mettre à part pour ne l’exécuter qu’une seule fois.

Sommaire.

 Comment factoriser une expression mathématique (algébrique)

Nous avons vu que factoriser c’est chercher le facteur commun et l’isoler.

Factoriser, c’est trouver quoi multiplier ensemble pour obtenir l’expression mathématique (algébrique).

1 – Factoriser avec un facteur commun

Par exemple, prenons l’expression mathématique « 2x + 8 ». 2x et 8 ont pour facteur commun 2.

Le résultat de la factorisation est :

« 2x + 8 = 2(x + 4) ».

2x + 8 est factorisé en 2 et (x+4).

Pour factoriser au mieux, il s’agit de chercher le plus grand facteur commun.

Par exemple, prenons l’expression mathématique « 2x² + 8x ».

2 et 8 ont pour facteur commun 2.

Nous pourrions factoriser l’expression comme suit :

« 2x² + 8x = 2(x² + 4x) ».

Mais 2x² et 8x ont également en commun la variable x.

Nous obtenons « 2x² + 8x = 2x (x + 4) ».

Trouver le facteur commun n’est pas toujours évident et peut se révéler complexe.

2 – Factoriser avec les identités remarquables

Pour les factorisations complexes, une astuce consiste à utiliser les identités remarquables, appelées aussi égalités remarquables.

Les reconnaitre dans une expression mathématique (algébrique) permet de factoriser plus rapidement.

Les principales identités remarquables à retenir sont les suivantes :

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 -3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Exemple – mise en évidence simple d’une identité remarquable

Prenons l’expression mathématique « 9x2 – 16″.

9x2 – 16 = (3x)2 – (4)2

Nous voyons apparaître, dans l’expression mathématique, l’identité remarquable

« a2 – b2 = (a + b)(a – b) » avec « a = 3x » et « b = 4 ».

Nous obtenons la factorisation

« 9x2 – 16 = (3x + 4)(3x – 4)« .

Les facteurs sont (3x + 4) et (3x – 4).

3 – Factoriser une expression du second degré.

Nous allons factoriser l’expression mathématique suivante : « x2 – 2x – 8″.

Elle ne correspond pas à une identité remarquable. Toutefois, nous voyons que « x2 – 2x » est le début de l’identité remarquable « a2 + 2ab + b2 = (a + b)2  » avec « a = x » et « b = -1 ».

 » x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 »

« x2 – 2x – 8 = x2 – 2x + 1 – 1 -8 = (x – 1)2 -9″

Nous voyons apparaitre l’identité remarquable « a2 – b2 = (a + b)(a – b) » avec « a = x – 1 » et « b = 3 ».

« (x – 1)2 -9 = (x – 1)2 – (3)2 = (x – 1 + 3)(x – 1 – 3) = (x + 2)(x – 4) ».

Nous obtenons la factorisation « x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4) ».

4 – Factoriser une expression composée.

Parfois, une expression mathématique (algébrique) peut être décomposée en plusieurs identités remarquables.

Exemple d’expression composée

Prenons l’expression mathématique « x3 – x2 – 4x + 4″.

Nous allons factoriser les deux premiers termes de l’expression mathématique (algébrique) puis les deux derniers :

« (x3 – x2) + ( – 4x + 4) »

« x2(x – 1) – 4(x – 1) »

Nous voyons (x – 1) comme facteur commun

« (x – 1)(x2 – 4) ».

« x2 – 4″ correspond à l’identité remarquable « a2 – b2 = (a + b)(a – b) » avec « a = x » et « b = 2 ».

Nous obtenons la factorisation « x3 – x2 – 4x + 4 = (x – 1)(x + 2)(x – 2) ».

Comment trouver les identités remarquables ?

Parfois, les identités remarquables, qui constituent l’expression mathématique (algébrique), n’apparaissent pas simplement.

Il existe une méthode infaillible pour les trouver.

Prenons l’équation

« A = ax2 + bx + c »

Pour trouver les identités remarquables qui composent l’équation, nous allons voir comment décomposer le terme central « bx ».

Nous allons chercher la valeur de deux nombres m et n tels que :

  • mn = ac
  • m + n = b

Ensuite, nous écrirons :

« A = ax2 + bx + c = ax2 + mx + nx + c »

Prenons, par exemple : « A = x2 + 7x + 12″

  • a = 1
  • b = 7
  • c = 12

Nous allons séparer en deux parties le terme central « 7x ».

Nous devons déterminer les deux nombres m et n. Ils doivent répondre aux conditions suivantes :

  • mn = ac = (1)(12) = 12
  • m + n = b = 7

Nous trouvons

  • m = 3
  • n = 4

Nous allons remplacer le terme central « 7x » par « 3x + 4x ». Nous obtenons

A = x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12

A = ( x2 + 3x) + (4x + 12)

A = x(x + 3) + 4(x + 3)

A = (x + 4)(x + 3)

Avec cette méthode, trouver les identités remarquables qui composent l’expression mathématique (algébrique) devient un jeu d’enfant.

Sommaire.

Ce qu’il faut retenir.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

math - factorisation - comment factoriser une expression mathématique
math – factorisation – comment factoriser une expression mathématique (algébrique)

Factoriser, c’est trouver ce qui est en commun dans une expression et le mettre à part pour ne l’exécuter qu’une seule fois.

En maths, factoriser une expression mathématique (algébrique), c’est la transformer en un produit de facteurs.

Pour factoriser au mieux, il s’agit de chercher le plus grand facteur commun.

Pour les factorisations complexes, une astuce consiste à utiliser les identités remarquables, appelées aussi égalités remarquables.

Les principales identités remarquables à retenir sont les suivantes :

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 -3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Sommaire.

Comment retenir définitivement ?

Pour mémoriser définitivement, nous allons utiliser comme technique de mémorisation, les répétitions espacées.

Pour ne pas surcharger notre cerveau, nous oublions naturellement les informations que nous recevons de plus en plus vite au fur et à mesure que le temps passe.

Toutefois, au bout d’un certain temps, certaines informations restent présente dans notre mémoire. En rafraichissant nos connaissances régulièrement et de façon espacée dans le temps, l’oubli est de plus en plus lent.

Pour mémoriser de façon optimale, nous devons ancrer les  informations à retenir en les révisant souvent au début. ensuite, il nous restera à les réviser juste avant d’oublier. Nous prolongeons ainsi le temps de rétention et nous transférons les informations à retenir dans la mémoire à long terme.

Pour mémoriser, par exemple, les identités remarquables, une fois que vous avez réussi à les retenir une fois, vous pouvez procéder de la manière suivante :

  • Répéter de suite.
  • Recommencer une minute après.
  • Répéter encore une fois la minute qui suit.
  • Répéter 10 minutes après.
  • Recommencer une heure après.
  • Recommencer 10 heures après (ou avant de vous endormir).
  • Recommencer 10 heures après (ou au réveil).
  • Répéter un jour après.
  • Laisser passer un jour sans répéter.
  • Réviser le lendemain.
  • Répéter une autre fois dans la semaine (3 jours après par exemple).
  • Réviser une semaine après.
  • Laisser passer une semaine.
  • Réviser la semaine suivante.
  • Réviser le mois suivante.
  • Laisser passer un mois.
  • Réviser le mois suivant.
  • Réviser un semestre après.
  • Rafraichir la mémoire tous les semestres.

Observer bien comment sont construites les identités remarquables, comment s’enchaînent les termes de l’expression mathématique.

L’idéal est de vous les représenter mentalement, de les visualiser dans votre esprit.

Si vous avez du mal à les retenir, pas de panique. Il existe des méthodes, des moyens mnémotechniques efficaces pour y parvenir.

Comme le cerveau adore les histoires, si vous avez du mal à retenir les formules, vous pouvez, par exemple, essayer de représenter les termes de l’identité remarquable sous forme de personnages ou d’objets qui bougent et imaginer une histoire que vous retiendrez plus facilement puisque c’est vous qui l’avez imaginé.

Il existe plusieurs techniques de mémorisation pour retenir des formules.

Si vous voulez les apprendre, cliquer sur notre article « Comment mémoriser les formules mathématiques ou de physique rapidement et facilement ».

En procédant ainsi, votre mémorisation à long terme deviendra très forte.

Au fur et à mesure des rappels, cela deviendra de plus en plus facile et rapide pour vous.

Exercez-vous souvent, pratiquez, entrainez vous à factoriser une expression mathématique (algébrique), faites des exercices de factorisation pour assimiler et habituer votre cerveau.

Réussir vos exercices de factorisation deviendra un jeu d’enfant pour vous.

Sommaire.

Factorisation – exercices et corrigés.

Pour vous exercez, voici dix exercices avec leurs corrigés de factorisation d’expressions mathématiques (algébriques).

Exercice 1

A = 49x2 – 16

A = (7x)2 – 42

A = (7x + 4)(7x – 4)

Exercice 2

B = (7x + 5)2 – 4

B = (7x + 5)2 – 22

B = (7x + 5 + 2)((7x + 5 – 2)

B = (7x + 7)(7x + 3)

Exercice 3

C = (6x + 7)2 – 100

C = (6x + 7)2 – 102

C = (6x + 7 + 10)(6x + 7 – 10)

C = (6x + 17)(6x – 3)

Exercice 4

D = (9x – 3)(6x – 7) + (6x – 7)2

D = (6x – 7)(9x – 3 + 6x – 7)

D = (6x – 7)(15x – 10)

Exercice 5

E = (6x – 8)(4x – 5) + 36x2 – 64

E = (6x – 8)(4x – 5) + (6x)2 – 82

E = (6x – 8)(4x – 5) + (6x – 8)(6x + 8)

E = (6x – 8)(4x – 5 + 6x + 8)

E = (6x – 8)(10x + 3)

Exercice 6

F = (4x + 3)(-x + 10) + 16x2 – 9

F = (4x + 3)(-x + 10) + (4x)2 – 32

F = (4x + 3)(-x + 10) + (4x + 3)(4x – 3)

F = (4x + 3)(-x + 10 + 4x – 3)

F = (4x + 3)(3x + 7)

Exercice 7

G = (4x + 10)(2x + 4) – (2x + 4)(2x + 9)

G = (2x + 4)(4x + 10 – 2x – 9)

G = (2x + 4)(2x + 1)

Exercice 8

H = x3 – x

H = x (x2 – 1)

H = x (x + 1) (x – 1)

Exercice 9

I = x2 + 5x + 6

I = (x2 + 2x )+ (3x + 6)

I = x (x + 2) + 3(x + 2)

I = (x + 3)(x + 2)

Exercice 10

J = x3 – 5x2 + 8x – 4

J = (x3 – 4x2 + 4x) + ( – x2 + 4 x – 4)

J = x(x2 – 4x + 4) – (x2  – 4x + 4)

J = (x – 1) (x2  – 4x + 4)

J = (x – 1) (x – 2)2

Sommaire.

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