Les Critères de Divisibilité des Nombres Entiers

En mathématiques, un critère de divisibilité est une règle qui permet de savoir si un nombre entier est divisible par un autre, appelé diviseur, sans effectuer la division, généralement en examinant ses chiffres.

Un exemple de critère de divisibilité est le suivant : un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités est pair, c’est-à-dire s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Il permet de tester rapidement la divisibilité d’un entier par un autre nombre entier.

Comment savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ou par n’importe quel nombre entier ?

Dans ce cours en ligne gratuit de mathématiques du blog éducatif Apprendre 5 minutes vous apprendrez facilement comment savoir si un nombre est divisible par un autre à l’aide d’exemples détaillés pour appliquer les critères de divisibilité.

Vous trouverez également la démonstration des critères de divisibilité qui prouvent que ces règles fonctionnent, avec des explications simples pour bien comprendre.

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Sommaire.

• Définition.
• Critère de divisibilité par 2.
• Critère de divisibilité par 3.
• Critère de divisibilité par 4.
• Critère de divisibilité par 5.
• Critère de divisibilité par 6.
• Critère de divisibilité par 7.
• Critère de divisibilité par 8.
• Critère de divisibilité par 9.
• Critère de divisibilité par 10.
• Critère de divisibilité par 11.
• Critère de divisibilité par 12.
• Critère de divisibilité par 13.
• Critère de divisibilité par 14.
• Critère de divisibilité par 15.
• Critère de divisibilité par 2ⁿ.
• Critère de divisibilité par 5ⁿ.
• Critère de divisibilité par un nombre premier.
  • Règle de divisibilité.
  • Critère de divisibilité par 17.
  • Critère de divisibilité par 19.
  • Critère de divisibilité par 23.
• À découvrir aussi.

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Définition.

Divisibilité.

La divisibilité est la propriété d’un nombre qui peut être entièrement divisé par un autre, c’est-à-dire sans qu’il y ait un reste.

Exemple :

52 / 4 = 13. Il reste 0, donc 52 est divisible par 4. 52 est un multiple de 2 car 2 est un diviseur de 52.

2 021 /2 = 1010. Il reste 1, donc 2 021 n’est pas divisible par 2 car le résultat de la division n’est pas un nombre entier.

Critère de divisibilité.

Un critère de divisibilité est une règle qui permet de savoir, d’après les chiffres qui constituent un nombre entier, si ce nombre est divisible ou non par un autre entier, en donnant un résultat entier, sans avoir besoin de faire trop de calculs.

Exemple :

Critère de divisibilité par 2 : 2 022 est divisible par 2 car 2 022 est un nombre pair. Le chiffre des unités, 2, est un nombre pair.

Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.

Les critères de divisibilité.

Critère de divisibilité par 2.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, c’est-à-dire s’il s’agit d’un nombre pair.

Méthode.

• Examiner le nombre.
• Regarder s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Si oui, le nombre est divisible par 2.

Exemples.

2 468 est-il divisible par 2 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 2 s’il s’agit d’un nombre pair.

• Le chiffre des unités de 2 468 est 8.
• 2 468 est un nombre pair.
• 2 468 est divisible par 2.

555 est-il divisible par 2 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 2 s’il s’agit d’un nombre pair.

• Le chiffre des unités de 555 est 5.
• 5 ne fait pas parti de la liste 0, 2, 4, 6 , 8.
• 555 est un nombre impair.
• 555 n’est pas divisible par 2.

Critère de divisibilité par 3.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Méthode.

• Additionner les chiffres constituant le nombre.
• Regarder si la somme est divisible par 3.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si la somme est divisible par 3, le nombre examiné est divisible par 3.

Exemples.

2 022 est-il divisible par 3 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• 2 + 0 + 2 + 2 = 6.
• 6 est divisible par 3 car 6 est un multiple de 3 (6 = 2 x 3).
• 2 022 est divisible par 3.

999 993 est-il divisible par 3 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 3 = 48.
• 4 + 8 = 12.
• 12 est divisible par 3 car 12 est un multiple de 3 (12 = 4 x 3).
• 999 993 est divisible par 3.

2 021 est-il divisible par 3 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• 2 + 0 + 2 + 1 = 5.
• 5 n’est pas divisible par 3.
• 2 021 n’est pas divisible par 3.

Critère de divisibilité par 4.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.

Méthode.

• Examiner le nombre formé par les deux derniers chiffres (dizaine (d) et unité (u)).
• Regarder si ce nombre est divisible par 4 (2d + u est un multiple de 4).
  • Multiplier la dizaine par 2 et ajouter l’unité.
  • Vérifier que le résultat est un multiple de 4.
• Si oui, le nombre est divisible par 4.

Exemples.

2 024 est-il divisible par 4 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.

• 24 = 2 x 10 + 4.
• d = 2 et u = 4.
• 2d + u = 2 x 2 + 4 = 8.
• 8 est un multiple de 4 (8 = 2 x 4).
• 2 024 est divisible par 4.

7 078 est-il divisible par 4 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.

• 78 = 7 x 10 + 8.
• d = 7 et u = 8.
• 2d + u = 2 x 7 + 8 = 22.
• 22 n’est pas un multiple de 4.
• 7 078 n’est pas divisible par 4.

Critère de divisibilité par 5.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.

Méthode.

• Examiner le nombre.
• Regarder s’il se termine par 0 ou 5.
• Si oui, le nombre est divisible par 5.

Exemples.

12 345 est-il divisible par 5 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

• Le chiffre des unités de 12 345 est 5.
• Comme le chiffre des unités est 5, 12 345 est divisible par 5.

54 321 est-il divisible par 5 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

• Le chiffre des unités de 54 321 est 1.
• Comme le chiffre des unités est différent de 0 et de 5, 54 321 n’est pas divisible par 5.

Critère de divisibilité par 6.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 6 s’il est divisible par 2 et par 3, c’est-à-dire s’il s’agit d’un nombre pair et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Méthode.

• Examiner le nombre.
• Regarder s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Regarder si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• SI besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si la somme est divisible par 3, alors le nombre examiné est divisible par 6.

Exemples.

123 456 est-il divisible par 6 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 6 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Le chiffre des unités de 123 456 est 6.
• 123 456 est un nombre pair.
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
• 21 est divisible par 3 car 21 est un multiple de 3 (21 = 7 x 3).
• 123 456 est divisible par 6 car c’est un nombre pair et un multiple de 6.

23 456 est-il divisible par 6 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 6 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Le chiffre des unités de 23 456 est 6.
• 23 456 est un nombre pair.
• 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20.
• 20 n’est divisible par 3.
• 23 456 n’est pas divisible par 6.

Critère de divisibilité par 7.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 7 si le nombre de dizaines (D) diminué par deux fois les unités (u) est un multiple de 7 (D – 2u).

Méthode.

• Examiner le nombre.
  • D = nombre de dizaines (tous les chiffres sauf le dernier).
  • u = unité (le chiffre de droite).
• Soustraire 2 fois les unités du nombre de dizaines : D – 2u.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si le résultat est un multiple de 7, alors le nombre est divisible par 7.

Exemples.

2 023 est-il divisible par 7 ?

Le critère de divisibilité par 7 indique qu’un nombre est divisible par 7 si son nombre de dizaines (D) diminué de deux fois les unités (u) est un multiple de 7.

• D = 202.
• u = 3.
• D – 2u = 202 – 2 x 3 = 202 – 6 = 196.
• 196 → D = 19; u = 6; D – 2u = 19 – 2 x 6 = 19 – 12 = 7.
• 2 023 est divisible par 7.

765 est-il divisible par 7 ?

Le critère de divisibilité par 7 indique qu’un nombre est divisible par 7 si son nombre de dizaines (D) diminué de deux fois les unités (u) est un multiple de 7.

• D = 76.
• u = 5.
• D – 2u = 76 – 2 x 5 = 76 – 10 = 66.
• 66 n’est pas un multiple de 7.
• 765 n’est pas divisible par 7.

Critère de divisibilité par 8.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 8 si le nombre formé par les chiffres des centaines, des dizaines et des unités est divisible par 8.

Méthode.

• Examiner le nombre formé par les trois derniers chiffres (centaine (c), dizaine (d) et unité (u)).
• Regarder si ce nombre est divisible par 8 (4c + 2d + u est un multiple de 8).
  • Multiplier la centaine par 4.
  • Multiplier la dizaine par 2.
  • Ajouter les deux résultats à l’unité.
  • Vérifier que le résultat final est un multiple de 8.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si le résultat est un multiple de 8, le nombre d’origine est divisible par 8.

Exemples.

8 765 432 est-il divisible par 8 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible par 8.

• c = 4;
• d = 3.
• u = 2.
• 4c + 2d + u = 4 x 4 + 2 x 3 + 2 = 16 + 6 + 2 = 24.
• 24 est un multiple de 8 (24 = 3 x 8).
• 8 765 432 est divisible par 8.

2 022 est-il divisible par 8 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible par 8.

• c = 0;
• d = 2.
• u = 2.
• 4c + 2d + u = 0 x 4 + 2 x 2 + 2 = 0 + 4 + 2 = 6.
• 6 n’est pas un multiple de 8.
• 2 022 n’est pas divisible par 8.

Critère de divisibilité par 9.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Méthode.

• Additionner les chiffres constituant le nombre.
• Regarder si la somme est divisible par 9.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si la somme est divisible par 9, le nombre examiné est divisible par 9.

Exemples.

987 654 321 est-il divisible par 9 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.
• 45 est divisible par 9 car 45 est un multiple de 9 (45 = 5 x 9).
• 987 654 321 est divisible par 9.

2 021 est-il divisible par 9 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• 2 + 0 + 2 + 1 = 5.
• 5 n’est pas divisible par 9.
• 2 021 n’est pas divisible par 9.

Critère de divisibilité par 10.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

Méthode.

• Examiner le nombre.
• Regarder s’il se termine par 0.
• Si oui, le nombre est divisible par 10.

Exemples.

320 est-il divisible par 10 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.

• Le chiffre des unités de 320 est 0.
• Comme le chiffre des unités est 0, 320 est divisible par 10.

2 021 est-il divisible par 10 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.

• Le chiffre des unités de 2 021 est 1.
• Comme le chiffre des unités est différent de 0, 2 021 n’est pas divisible par 10.

Critère de divisibilité par 11.

Règle de divisibilité.

Méthode 1 : Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres situés aux rangs impairs et la somme des chiffres situés aux rangs pairs est divisible par 11.

Méthode 2 : Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11 (D – u).

Méthode.

Méthode 1.

• Examiner le nombre.
  • a = calculer la somme des chiffres aux rangs impairs.
  • b = calculer la somme des chiffres aux rangs pairs.
• Faire la différence entre les 2 résultats : a – b.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si le résultat est un multiple de 11, alors le nombre est divisible par 11.

Méthode 2.

• Examiner le nombre.
  • D = nombre de dizaines (tous les chiffres sauf le dernier).
  • u = unité (le chiffre de droite).
• Soustraire l’unité du nombre de dizaines : D – u.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si le résultat est un multiple de 11, alors le nombre est divisible par 11.

Exemples.

2 024 est-il divisible par 11 ?

Méthode 1.

Le critère de divisibilité par 11 indique qu’un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres situés aux rangs impairs et la somme des chiffres situés aux rangs pairs est divisible par 11.

• a = 2 + 2 = 4.
• b = 0 + 4 = 4.
• a – b = 4 – 4 = 0.
• 2 024 est divisible par 11.

Méthode 2.

Le critère de divisibilité par 11 indique qu’un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11.

• D = 202.
• u = 4.
• D – u = 202 – 4 = 198.
• 198 → D = 19; u = 8; D – u = 19 – 8 = 11.
• 2 024 est divisible par 11.

123 456 est-il divisible par 11 ?

Méthode 1.

Le critère de divisibilité par 11 indique qu’un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres situés aux rangs impairs et la somme des chiffres situés aux rangs pairs est divisible par 11.

• a = 1 + 3 + 5 = 9.
• b = 2 + 4 + 6 = 12.
• a – b = 9 – 12 = -3.
• -3 n’est pas un multiple de 11
• 123 456 n’est pas divisible par 11.

Méthode 2.

Le critère de divisibilité par 11 indique qu’un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11.

• D = 12 345.
• u = 6.
• D – u = 12 345 – 6 = 12 339.
• 12 339 → D = 1 233; u = 9; D – u = 1 233 – 9 = 1 224.
• 1 224 → D = 122; u = 4; D – u = 122 – 4 = 118.
• 118 → D = 11; u = 8; D – u = 11 – 8 = 3.
• 3 n’est pas un multiple de 11.
• 123 456 n’est pas divisible par 11.

Critère de divisibilité par 12.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 12 s’il est divisible par 3 et par 4.

Méthode.

• Vérifier que le nombre est divisible par 3, c’est-à-dire que la somme des chiffres formant le nombre est divisible par 3.
• Vérifier que le nombre est divisible par 4, c’est-à-dire que le nombre formé par les 2 derniers chiffres est divisible par 4.
• Si les deux critères sont vérifiés, le nombre est divisible par 12.

Exemples.

2 028 est-il divisible par 12 ?

Le critère de divisibilité par 12 indique qu’un nombre entier est divisible par 12 s’il est divisible à la fois par 3 et par 4.

• 2 + 0 + 2 + 8 = 12.
• 12 est divisible par 3 car 12 est un multiple de 3 (12 = 4 x 3).
• 2 028 est divisible par 3.
• 28 = 2 x 10 + 8.
• d = 2 et u = 8.
• 2d + u = 2 x 2 + 8 = 12.
• 12 est un multiple de 4 (12 = 3 x 4).
• 2 028 est divisible par 4.
• 2 028 est divisible par 12 car c’est un multiple de 3 et de 4.

5 008 est-il divisible par 12 ?

Le critère de divisibilité par 12 indique qu’un nombre entier est divisible par 12 s’il est divisible à la fois par 3 et par 4.

• 5 + 0 + 0 + 8 = 13.
• 13 n’est pas divisible par 3 car ce n’est pas un multiple de 3.
• 5 008 n’est pas divisible par 13.

17 634 est-il divisible par 12 ?

Le critère de divisibilité par 12 indique qu’un nombre entier est divisible par 12 s’il est divisible à la fois par 3 et par 4.

• 1 + 7 + 6 + 3 + 4 = 21.
• 21 est divisible par 3 car 21 est un multiple de 3 (21 = 7 x 3).
• 17 634 est divisible par 3.
• 34 = 3 x 10 + 4.
• d = 3 et u = 4.
• 2d + u = 2 x 3 + 4 = 6 + 4 = 10.
• 10 n’est pas un multiple de 4.
• 17 634 n’est pas divisible par 4.
• 17 634 n’est pas divisible par 12 car ce n’est pas un multiple de 4.

Critère de divisibilité par 13.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 13 si le nombre de dizaines (D) augmenté de quatre fois les unités (u) est un multiple de 13 (D + 4u).

Méthode.

• Examiner le nombre.
  • D = nombre de dizaines (tous les chiffres sauf le dernier).
  • u = unité (le chiffre de droite).
• Ajouter 4 fois les unités au nombre de dizaines : D + 4u.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si le résultat est un multiple de 13, alors le nombre est divisible par 13.

Exemples.

2 028 est-il divisible par 13 ?

Le critère de divisibilité par 13 indique qu’un nombre est divisible par 13 si son nombre de dizaines (D) augmenté de quatre fois les unités (u) est un multiple de 13.

• D = 202.
• u = 8.
• D + 4u = 202 + 4 x 8 = 202 + 32 = 234.
• 234 → D = 23; u = 4; D + 4u = 23 + 4 x 4 = 23 + 16 = 39.
• 39 est un multiple de 13 (39 = 3 x 13).
• 2 028 est divisible par 13.

1 234 est-il divisible par 13 ?

Le critère de divisibilité par 13 indique qu’un nombre est divisible par 13 si son nombre de dizaines (D) augmenté de quatre fois les unités (u) est un multiple de 13.

• D = 123.
• u = 4.
• D + 4u = 123 + 4 x 4 = 123 + 16 = 139.
• 139 → D = 13; u = 9; D + 4u = 13 + 4 x 9 = 13 + 36 = 49.
• 49 n’est pas un multiple de 13.
• 1 234 n’est pas divisible par 13.

Critère de divisibilité par 14.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 14 s’il est divisible par 2 et par 7, c’est-à-dire s’il s’agit d’un nombre pair et si le nombre de dizaines (D) diminué par deux fois les unités (u) est un multiple de 7 (D – 2u).

Méthode.

• Vérifier que le nombre est divisible par 2, c’est-à-dire qu’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Vérifier que le nombre est divisible par 7, c’est-à-dire que son nombre de dizaines (D) diminué de deux fois les unités (u) est un multiple de 7.
• Si les 2 critères sont vérifiés, alors le nombre est divisible par 14.

Exemples.

2 058 est-il divisible par 14 ?

Le critère de divisibilité par 14 indique qu’un nombre est divisible par 14 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 et si son nombre de dizaines (D) diminué de deux fois les unités (u) est un multiple de 7.

• Le chiffre des unités de 2 058 est 8.
• 2 058 est un nombre pair.
• D = 205.
• u = 8.
• D – 2u = 205 – 2 x 8 = 205 – 16 = 189.
• 189 → D = 18; u = 9; D – 2u = 18 – 2 x 9 = 18 – 18 = 0.
• 2 058 est divisible par 14.

1 234 est-il divisible par 14 ?

Le critère de divisibilité par 14 indique qu’un nombre est divisible par 14 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 et si son nombre de dizaines (D) diminué de deux fois les unités (u) est un multiple de 7.

• Le chiffre des unités de 1 234 est 4.
• 1 234 est un nombre pair.
• D = 123.
• u = 4.
• D – 2u = 123 – 2 x 4 = 123 – 8 = 115.
• 115 → D = 11; u = 5; D – 2u = 11 – 2 x 5 = 11 – 10 = 1.
• 1 n’est pas un multiple de 7.
• 1 234 n’est pas divisible par 14.

Critère de divisibilité par 15.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 15 s’il est divisible par 3 et par 5, c’est-à-dire si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et si le chiffre des unités est 0 ou 5.

Méthode.

• Examiner le nombre.
• Regarder s’il se termine par 0 ou 5.
• Regarder si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• SI besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si la somme est divisible par 3, alors le nombre examiné est divisible par 15.

Exemples.

18 510 est-il divisible par 15 ?

Le critère de divisibilité par 15 indique qu’un nombre est divisible par 15 s’il se termine par 0 ou 5 et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Le chiffre des unités de 18 510 est 0.
• 18 510 est un divisible par 5.
• 1 + 8 + 5 + 1 + 0 = 15.
• 15 est divisible par 3 car 15 est un multiple de 3 (15 = 5 x 3).
• 18 510 est divisible par 15 car c’est à la fois un multiple de 5 et un multiple de 3.

76 543 210 est-il divisible par 15 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 15 s’il se termine par 0 ou 5 et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Le chiffre des unités de 76 543 210 est 0.
• 76 543 210 est un divisible par 5.
• 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 28.
• 28 n’est pas divisible par 3.
• 76 543 210 n’est divisible par 15 car ce n’est pas un multiple de 3.

Critère de divisibilité par 2ⁿ.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 2ⁿ si le nombre formé par les n derniers chiffres est divisible par 2ⁿ.

Méthode.

• Examiner le nombre formé par les n derniers chiffres (…, millier (m), centaine (c), dizaine (d) et unité (u)).
• Regarder si ce nombre est divisible par 2ⁿ.
• Si le résultat est un multiple de 2ⁿ, le nombre d’origine est divisible par 2ⁿ.

Exemple.

123 456 est-il divisible par 16 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 2ⁿ si le nombre formé par les n derniers chiffres est divisible par 2ⁿ.

• 16 = 2⁴.
• Les 4 derniers chiffres de 123 456 forment le nombre 3 456.
• Prendre le nombre formé par les chiffres des milliers et des centaines et chercher le multiple de 16 le plus proche, à l’aide de la division euclidienne.
• 34 / 16 = 32 + 2 (16 x 2 + 2).
• 32 étant un multiple de 16, 3 200 (32 x 100) est un multiple de 16.
• Nous allons regarder maintenant si le reste de la division est divisible par 16, c’est-à-dire si 3 456 – 3 200 = 256 est divisible par 16.
• Chercher le multiple de 16 le plus proche du nombre formé par les centaines et les dizaines (25), comme dans la division euclidienne.
• 25 / 16 = 1 + 9 (16 x 1 + 9).
• 16 étant un multiple de 16, 160 (16 x 10) est un multiple de 16.
• Nous allons regarder maintenant si le reste de la division est divisible par 16, c’est-à-dire si 256 – 160 = 96 est divisible par 16.
• 96 / 16 = 16 x 6 + 0.
• Le reste de la division, donc le nombre est divisible par 16.
• 123 456 est divisible par 16.

Critère de divisibilité par 5ⁿ.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par 5ⁿ si le nombre formé par les n derniers chiffres est divisible par 5ⁿ.

Méthode.

• Examiner le nombre formé par les n derniers chiffres (…, millier (m), centaine (c), dizaine (d) et unité (u)).
• Regarder si ce nombre est divisible par 5ⁿ.
• Si le résultat est un multiple de 5ⁿ, le nombre d’origine est divisible par 5ⁿ.

Exemples.

142 375 est-il divisible par 25 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 5ⁿ si le nombre formé par les n derniers chiffres est divisible par 5ⁿ.

Nous pouvons en déduire qu’un nombre est divisible par 25 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est 00, 25, 50 ou 75.

• 25 = 5².
• Les 2 derniers chiffres de 142 375 forment le nombre 75.
• 75 est un multiple de 25 (75 = 3 x 25).
• 142 375 est divisible par 25.

154 320 875 est-il divisible par 125 ?

Le critère de divisibilité indique qu’un nombre est divisible par 5ⁿ si le nombre formé par les n derniers chiffres est divisible par 5ⁿ.

Nous pouvons en déduire qu’un nombre est divisible par 125 si le nombre formé par les trois derniers chiffres est 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 ou 875.

• 125 = 5³.
• Les 3 derniers chiffres de 154 320 875 forment le nombre 875.
• 875 est un multiple de 125 (875 = 7 x 125).
• 154 320 875 est divisible par 125.

Critère de divisibilité par un nombre premier.

Règle de divisibilité.

Un nombre entier est divisible par un nombre premier P, autre que 2 ou 5, s’il existe un entier relatif K tel que 10K – 1 est un multiple de P.

Un nombre entier est divisible par P si le nombre de dizaines (D) augmenté par K fois les unités (u) est un multiple de P (D + Ku).

Remarque : pour faciliter le calcul, on choisit généralement soit la solution la plus proche de 0 (K peut alors être un entier négatif), soit la plus petite solution positive.

Méthode.

• Examiner le nombre.
  • D = nombre de dizaines (tous les chiffres sauf le dernier).
  • u = unité (le chiffre de droite).
• Déterminer K (10K – 1 = multiple de P).
• Ajouter K fois les unités au nombre de dizaines : D + Ku.
• Si besoin, répéter la règle sur le résultat obtenu.
• Si le résultat est un multiple de P, alors le nombre est divisible par P.

Divisibilité par 17.

Critère de divisibilité par 17.

17 est un nombre premier.

Nous allons commencer par chercher un critère de divisibilité par 17.

Nous devons trouver un nombre K, tel que 10K – 1 est un multiple de 17.

Le premier multiple de 17 proche d’une dizaine est 51 (51 = 3 x 17).

La valeur de K telle que 10K – 1 = multiple de 17 est -5.

10 x -5 – 1 = – 51 = -3 x 17.

K = – 5.

Un nombre entier est divisible par 17 si le nombre de dizaines (D) diminué par cinq fois les unités (u) est un multiple de 17 (D – 5u).

Exemple.

2023 est-il divisible par 17 ?

Le critère de divisibilité par 17 indique qu’un nombre est divisible par 17 si son nombre de dizaines (D) diminué de cinq fois les unités (u) est un multiple de 17.

• D = 202.
• u = 3.
• D – 5u = 202 – 5 x 3 = 202 – 15 = 187.
• 187 → D = 18; u = 7; D – 5u = 18 – 5 x 7 = 18 – 35 = -17.
• -17 est un multiple de 17 (-17 = -1 x 17).
• 2 023 est divisible par 17.

Divisibilité par 19.

Critère de divisibilité par 19.

19 est un nombre premier.

Nous allons commencer par chercher un critère de divisibilité par 19.

Nous devons trouver un nombre K, tel que 10K – 1 est un multiple de 19.

Le premier multiple de 19 proche d’une dizaine est 19 (19 = 1 x 19).

La valeur de K telle que 10K – 1 = multiple de 19 est 2.

10 x 2 – 1 = 19 = 1 x 19.

K = 2.

Un nombre entier est divisible par 19 si le nombre de dizaines (D) augmenté de deux fois les unités (u) est un multiple de 19 (D + 2u).

Exemple.

2033 est-il divisible par 19 ?

Le critère de divisibilité par 19 indique qu’un nombre est divisible par 19 si son nombre de dizaines (D) augmenté de deux fois les unités (u) est un multiple de 19.

• D = 203.
• u = 3.
• D + 2u = 203 + 2 x 3 = 203 + 6 = 209.
• 209 → D = 20; u = 9; D + 2u = 20 + 2 x 9 = 20 + 18 = 38.
• 38 est un multiple de 19 (38 = 2 x 19).
• 2 033 est divisible par 19.

Divisibilité par 23.

Critère de divisibilité par 23.

23 est un nombre premier.

Nous allons commencer par chercher un critère de divisibilité par 23.

Nous devons trouver un nombre K, tel que 10K – 1 est un multiple de 23.

Le premier multiple de 23 proche d’une dizaine est 69 (69 = 3 x 23).

La valeur de K telle que 10K – 1 = multiple de 23 est 7.

10 x 7 – 1 = 69 = 3 x 23.

K = 7.

Un nombre entier est divisible par 23 si le nombre de dizaines (D) augmenté de sept fois les unités (u) est un multiple de 23 (D + 7u).

Exemple.

2024 est-il divisible par 23 ?

Le critère de divisibilité par 23 indique qu’un nombre est divisible par 23 si son nombre de dizaines (D) augmenté de sept fois les unités (u) est un multiple de 23.

• D = 202.
• u = 4.
• D + 7u = 202 + 7 x 4 = 202 + 28 = 230.
• 230 → D = 23; u = 0; D + 7u = 23 + 7 x 0 = 23 + 0 = 23.
• 2 024 est divisible par 23.

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