Critère de divisibilité par 7 – Astuces mathématiques : Comment savoir si un nombre est un multiple de 7.
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14, 28, 56, 117, 224, 469, 6 993, etc. sont des multiples de 7.
Comment reconnaitre un multiple de 7 ?
Il existe des astuces mathématiques toutes simples pour déterminer si un nombre est divisible par 7.
En lisant ce cours de mathématiques en ligne gratuit du blog éducatif Apprendre 5 minutes vous apprendrez également en quelques secondes des moyens mnémotechniques très efficaces pour retenir les astuces de maths sur le critère de divisibilité par 7.
Vous trouverez également de nombreux exemples avec des explications détaillées pour vous entrainer.
Vous pouvez cliquer sur l’image pour l’agrandir.
Sommaire.
- Critère de divisibilité – définition.
- Premier critère de divisibilité par 7 : D – 2U.
- Deuxième critère de divisibilité par 7 : D + 5U.
- Troisième critère de divisibilité par 7 : somme des multiples.
- A lire aussi.
- Annexe : Table de multiplication par 7 jusqu’à 100.
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Critère de divisibilité – définition.
Un critère de divisibilité est une règle mathématique permettant de savoir si un nombre entier est divisible par un autre sans reste.
Un nombre est divisible par 7 s’il est divisible par 7 sans reste.
Par exemple, 28 est divisible par 7 car le produit de 7 par 4 vaut 28.
27 n’est pas divisible par 7 car il n’existe pas de nombre entier qui le divise sans reste.
Premier critère de divisibilité par 7 : D – 2U.
Un nombre est divisible par 7 si son nombre de dizaines moins deux fois le nombres des unités est divisible par 7.
D – 2U = 7 N
D = nombre de dizaines
U = chiffre des unités
N = entier
Exercices et corrigés.
Question 1 : 112 est-il un multiple de 7 ?
112 → D = 11; U = 2; D – 2U = 11 – 2 x 2 = 11 – 4 = 7.
112 est divisible par 7.
Réponse : 112 est un multiple de 7.
Question 2 : 125 est-il un multiple de 7 ?
125 → D = 12; U = 5; D – 2U = 12 – 2 x 5 = 12 – 10 = 2.
2 n’est pas un multiple de 7.
125 n’est pas divisible par 7.
Réponse : 125 n’est pas un multiple de 7.
Question 3 : 2 023 est-il un multiple de 7 ?
2 023 → D = 202; U = 3; D – 2U = 202 – 2 x 3 = 202 – 6 = 196.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 196.
196 → D = 19; U = 6; D – 2U = 19 – 2 x 6 = 19 – 12 = 7.
2 023 est divisible par 7.
Réponse : 2 023 est un multiple de 7.
Question 4 : 123 456 789 est-il un multiple de 7 ?
123 456 789 → D = 12 345 678; U = 9; D – 2U = 12 345 678 – 2 x 9 = 12 345 678 – 18 = 12 345 660.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 12 345 660.
12 345 660 → D = 1 234 566; U = 0; D – 2U = 1 234 566 – 2 x 0 = 1 234 566.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 1 234 566.
1 234 566 → D = 123 456; U = 6; D – 2U = 123 456 – 2 x 6 = 123 456 – 12 = 123 444.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 123 444.
123 444 → D = 12 344; U = 4; D – 2U = 12 344 – 2 x 4 = 12 344 – 8 = 12 336.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 12 336.
12 336 → D = 1 233; U = 6; D – 2U = 1 233 – 2 x 6 = 1 233 – 12 = 1 221.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 1 221.
1 221 → D = 122; U = 1; D – 2U = 122 – 2 x 1 = 122 – 2 = 120.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 120.
120 → D = 12; U = 0; D – 2U = 12 – 2 x 0 = 12.
12 n’est pas un multiple de 7.
123 456 789 n’est pas divisible par 7.
Réponse : 123 456 789 n’est pas un multiple de 7.
Démonstration du premier critère de divisibilité par 7.
Nous allons démontrer que si D – 2U est un multiple de 7, alors N est un multiple de 7.
C’est-à-dire :
N = 10D + U = 7 a; a = entier.
D – 2U = 7 b; b = entier.
En multipliant par 10 la deuxième expression et en développant, nous obtenons :
10 (D – 2U) = 10 x 7b → 10D -20U = 70b → 10D = 70b + 20U
En ajoutant U de chaque coté de l’expression, nous obtenons :
10D + U = 70b + 20U + U = 70b + 21U
21 est un multiple de 7 (21 = 3 x 7).
En factorisant par 7, nous pouvons écrire :
N = 10D + U = 7 x 10b + 7 x 3U = 7 x (10b + 3U) → N = 10D + U = 7a; a = 10b + 3U
Nous avons démontré que si D – 2U est un multiple de 7, alors N est un multiple de 7.
Astuces mnémotechniques.
Si vous avez du mal à vous rappeler le critère de divisibilité par 7, vous pouvez faire appel à une astuce mémoire.
Si vous avez des difficultés pour vous rappeler, c’est que les nombres et les formules de calcul sont une notion abstraite.
Le cerveau se rappelle mieux de ce qui est concret, de ce qui a du sens pour lui.
Le moyen mnémotechnique consiste à associer chaque élément de la formule à quelque chose de concret, puis de construire une histoire mémorable pour retenir le critère de divisibilité par 7.
Pour savoir si le nombre est un multiple de 7, nous utilisons le critère de divisibilité D – 2U.
Nous allons créer les associations imagées suivantes.
- Le chiffre 7 sera représenté par une chaussette. Visuellement, une chaussette à l’envers ressemble au chiffre 7 et la dernière syllabe du mot chaussette a la même consonance que le mot sept (7).
- Multiple nous fait penser au signe de la multiplication, à la lettre X.
- Le nombre de dizaines D sera représenté par un dé. Le nom dé a une sonorité proche de la lettre D.
- Le symbole de la soustraction, le signe – (moins), nous fait penser à une règle d’écolier.
- 2U nous fait penser à deux ours. Le mot ours a une consonance proche de la lettre U.
Ces associations sont données à titre d’exemple. A vous de trouver celles que vous retiendrez le plus facilement.
Pour retenir le critère de divisibilité par 7 (un nombre est un multiple de 7 si le nombre de dizaines moins deux fois le nombres des unités est un multiple de 7), nous allons inventer une histoire avec une chaussette, la lettre X, un dé, une règle d’écolier et 2 ours.
Nous pouvons imaginer, par exemple, l’histoire suivante pour apprendre le critère de divisibilité par 7.
Une chaussette géante avec la lettre X comme motif se retourne et se secoue. Il en sort un dé, une règle et deux ours.
© apprendre5minutes.wordpress.com.
En prenant le temps de visualiser mentalement l’histoire, vous aller mémoriser le critère de divisibilité par 7, D – 2U.
Pour renforcer la mémorisation, vous pouvez vous amuser à dessiner l’histoire. Pratiquez et faites des exercices comme ceux que nous avons faits ci-dessus. plus vous utiliserez le critère de divisibilité et plus facilement vous retiendrez la formule.
Deuxième critère de divisibilité par 7 : D + 5U.
Un nombre est divisible par 7 si son nombre de dizaines plus cinq fois le nombres des unités est divisible par 7.
D + 5U = 7 N
D = nombre de dizaines
U = chiffre des unités
N = entier
Pour savoir si un nombre est divisible par 7 (sept), il s’agit d’ajouter au nombre de dizaines le produit des unités par 5 (cinq). Si le nombre résultat est divisible par 7 (sept), le nombre de départ est également divisible par 7 (sept).
Exercices et corrigés.
Question 1 : 112 est-il un multiple de 7 ?
112 → D = 11; U = 2; D + 5U = 11 + 5 x 2 = 11 + 10 = 21.
21 est divisible par 7 (21 = 7 x 3).
112 est divisible par 7.
Réponse : 112 est un multiple de 7.
Question 2 : 125 est-il un multiple de 7 ?
125 → D = 12; U = 5; D + 5U = 12 + 5 x 5 = 12 + 25 = 37.
37 n’est pas un multiple de 7.
125 n’est pas divisible par 7.
Réponse : 125 n’est pas un multiple de 7.
Question 3 : 2 023 est-il un multiple de 7 ?
2 023 → D = 202; U = 3; D + 5U = 202 + 5 x 3 = 202 + 15 = 217.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 217.
217 → D = 21; U = 7; D + 5U = 21 + 5 x 7 = 21 + 35 = 56.
56 est divisible par 7 (56 = 7 x 8).
2 023 est divisible par 7.
Réponse : 2 023 est un multiple de 7.
Question 4 : 123 456 789 est-il un multiple de 7 ?
123 456 789 → D = 12 345 678; U = 9; D + 5U = 12 345 678 + 5 x 9 = 12 345 678 + 45 = 12 345 723.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 12 345 723.
12 345 723 → D = 1 234 572; U = 3; D + 5U = 1 234 572 + 5 x 3 = 1 234 572 + 15 = 1 234 587.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 1 234 587.
1 234 587 → D = 123 458; U = 7; D + 5U = 123 458 + 5 x 7 = 123 458 + 35 = 123 493.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 123 493.
123 493 → D = 12 349; U = 3; D + 5U = 12 349 + 5 x 3 = 12 349 + 15 = 12 364.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 12 364.
12 364 → D = 1 236; U = 4; D + 5U = 1 236 + 5 x 4 = 1 236 + 20 = 1 256.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 1 256.
1 256 → D = 125; U = 6; D + 5U = 125 + 5 x 6 = 125 + 30 = 155.
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 155.
155 → D = 12; U = 5; D + 5U = 12 + 5 x 5 = 12 + 25 = 37.
37 n’est pas un multiple de 7.
123 456 789 n’est pas divisible par 7.
Réponse : 123 456 789 n’est pas un multiple de 7.
Démonstration du deuxième critère de divisibilité par 7.
Nous allons démontrer que si D + 5U est un multiple de 7, alors N est un multiple de 7.
C’est-à-dire :
N = 10D + U = 7 a; a = entier.
D + 5U = 7 b; b = entier.
En multipliant par 10 l’expression et en développant, nous obtenons :
10 (D + 5U) = 10 x 7b → 10D + 50U = 70b
En décomposant 50U en U + 49U (49 = 7 x 7 : c’est un multiple de 7), nous obtenons :
10D + U + 49U = 70b → 10D + U = 70b – 49U = 70b – 7 x 7U.
En factorisant la deuxième partie de l’expression, nous obtenons :
N = 10D + U = 7 (10b – 7U).
Nous avons démontré que si D + 5U est un multiple de 7, alors N est un multiple de 7.
Astuces mnémotechniques.
Si vous avez du mal à vous rappeler le critère de divisibilité par 7, vous pouvez faire appel à une astuce mémoire.
Comme nous l’avions vu pour le premier critère de divisibilité, le moyen mnémotechnique consiste à associer chaque élément de la formule à quelque chose de concret, puis de construire une histoire mémorable pour retenir le critère de divisibilité par 7.
Pour savoir si le nombre est un multiple de 7, nous utilisons le critère de divisibilité D + 5U.
Nous allons créer les associations imagées suivantes.
- Le chiffre 7 sera représenté par une chaussette. Visuellement, une chaussette à l’envers ressemble au chiffre 7 et la dernière syllabe du mot chaussette a la même consonance que le mot sept (7).
- Multiple nous fait penser au signe de la multiplication, à la lettre X.
- Le nombre de dizaines D sera représenté par un dé. Le nom dé a une sonorité proche de la lettre D.
- Le symbole de l’ addition, le signe + (plus), nous fait penser à la croix verte, symbole de la pharmacie.
- Le chiffre 5 sera représenté par un crochet esse qui ressemble visuellement au chiffre 5.
- U nous fait penser à un fer à cheval. Le fer à cheval ressemble visuellement à la lettre U.
Ces associations sont données à titre d’exemple. A vous de trouver celles que vous retiendrez le plus facilement.
Pour retenir le critère de divisibilité par 7 (un nombre est un multiple de 7 si le nombre de dizaines moins deux fois le nombres des unités est un multiple de 7), nous allons inventer une histoire avec une chaussette, la lettre X, un dé, une croix verte, un sphinx et un fer à cheval.
Nous pouvons imaginer, par exemple, l’histoire suivante pour apprendre le critère de divisibilité par 7.
Une chaussette géante avec la lettre X comme motif se retourne et se secoue. Il en sort un dé, une croix verte, un crochet et un fer à cheval.
© apprendre5minutes.wordpress.com.
En prenant le temps de visualiser mentalement l’histoire, vous aller mémoriser le critère de divisibilité par 7, D + 5U.
Pour renforcer la mémorisation, vous pouvez vous amuser à dessiner l’histoire. Pratiquez et faites des exercices comme ceux que nous avons faits ci-dessus. plus vous utiliserez le critère de divisibilité et plus facilement vous retiendrez la formule.
Troisième critère de divisibilité par 7 : somme des multiples.
La somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7.
7A + 7B = 7 C
735 = 700 + 35
700 = 7 x 100
35 = 7 x 5
Pour savoir si un nombre est divisible par 7 (sept), il s’agit de vérifier qu’il peut être décomposé en somme d’au moins 2 (deux) nombres divisibles par 7 (sept).
Remarque : Pour déterminer si les nombres composant la somme sont des nombres divisibles par 7, vous pouvez également utiliser un des critères de divisibilité précédent.
Exercices et corrigés.
Question 1 : 112 est-il un multiple de 7 ?
Recherchons le nombre de dizaines divisibles par 7 le plus proche du nombre 112.
Nombre de dizaines = 11. Nombre de dizaines inférieur le plus proche de 11 = 7.
Le nombre 112 peut être décomposé comme suit :
112 = 70 + 42.
70 est divisible par 7 (70 = 7 x 10).
42 est divisible par 7 (42 = 7 x 6).
112 est divisible par 7.
Réponse : 112 est un multiple de 7.
Question 2 : 125 est-il un multiple de 7 ?
Recherchons le nombre de dizaines divisibles par 7 le plus proche du nombre 125.
Nombre de dizaines = 12. Nombre de dizaines inférieur le plus proche de 12 = 7.
Le nombre 125 peut être décomposé comme suit :
125 = 70 + 55.
55 n’est pas divisible par 7
125 n’est pas divisible par 7.
Réponse : 125 n’est pas un multiple de 7.
Question 3 : 2 023 est-il un multiple de 7 ?
Recherchons le nombre de dizaines divisibles par 7 le plus proche du nombre 202.
Nombre de dizaines = 20. Nombre de dizaines inférieur le plus proche de 20 = 14.
Le nombre 2 023 peut être décomposé comme suit :
2 023 = 1 400 + 623.
623 est-il un multiple de 7 ?
Appliquons la règle de divisibilité par 7 à 623.
Recherchons le nombre de dizaines divisibles par 7 le plus proche du nombre 62.
Nombre de dizaines = 62. Nombre de dizaines inférieur le plus proche de 62 = 56.
Le nombre 623 peut être décomposé comme suit :
623 = 560 + 63.
560 est divisible par 7 (560 = 7 x 8 x 10).
63 est divisible par 7 (63 = 7 x 9).
2 023 = 1 400 + 560 + 63.
2 023 est la somme de 3 multiples de 7.
2 023 est divisible par 7.
Réponse : 2 023 est un multiple de 7.
Démonstration du troisième critère de divisibilité par 7.
Nous allons démontrer que la somme des multiples de 7 est un multiple de 7.
C’est-à-dire :
N = 7C = 7A +7B
En factorisant 7A + 7B, nous obtenons
7A + 7B = 7 (A + B).
N = 7C = 7(A + B)
Nous avons démontré que si un nombre N peut être décomposé en somme de multiples de 7, alors N est un multiple de 7.
Il s’agit d’une application de la distributivité de la multiplication sur l’addition.
En arithmétique et en algèbre, la règle mathématique de la distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que le produit d’une somme est égal à la somme des produits : k x (a + b) = k x a + k x b.
Dans le cas du critère de divisibilité, k vaut 7.
7 (a + b) = 7a + 7b
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