Calcul mental rapide – Calculer de Tête le Cube d’un nombre

Calcul mental – Calculer de tête le cube d’un nombre de deux chiffres sans calculatrice rapidement et facilement – Cours de mathématiques gratuit.

Nous commencerons par apprendre par cœur le cube des nombres jusqu’à 103, c’est à dire leur puissance de 3.

  • 13 = 1.
  • 23 = 8.
  • 33 = 27.
  • 43 = 64.
  • 53 = 125.
  • 63 = 216.
  • 73 = 343.
  • 83 = 512.
  • 93 = 729.
  • 103 = 1 000.

Vous aimeriez également calculer mentalement les nombres au cube facilement jusqu’à 1003 et plus ?

Vous chercher des astuces de calcul mental rapide pour trouver le cube d’un nombre rapidement et facilement ?

Bonne nouvelle ! Il existe des techniques efficaces pour calculer de tête la puissance troisième de n’importe quel nombre entier jusqu’à 1003 et même plus.

Lisez ce cours de mathématiques gratuit en ligne du blog éducatif Apprendre5minutes pour apprendre les meilleures astuces de calcul mental pour calculer de tête rapidement le cube d’un nombre.

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Sommaire.

Pour calculer mentalement le cube d’un nombre entier nous nous appuierons sur les propriétés des puissances et les identités remarquables vues dans l’article Liste des Cubes Parfaits – les 1000 premiers cubes parfaits.

Nous présentons dans cet articles plusieurs astuces pour calculer de tête le cube d’un nombre.

Avec l’habitude, vous choisirez celle qui vous semble la plus pratique pour le calcul de tête du nombre au cube.

Calcul mental des cubes jusqu’à 10.

n3 = n x n2

si n2 > 10, n2 = 10d + u

⇒ n3 = n x (10d + u) = n x d x 10 + n x u

Exemple :

73 = 7 x 72 = 7 x 49 = 7 x (40 + 9)

= 280 + 63 = 343

Le cube d’un nombre entier est le produit de la multiplication du nombre par son carré : N3 = N x N2.

La méthode de calcul mental que nous allons apprendre est simple.

Il s’agit de calculer le carré du nombre, puis de multiplier ce résultat par le nombre.

💡 Pour apprendre à calculer de tête le carré d’un nombre, cliquez sur ce lien.

Si le nombre à élever au cube est plus grand que 3, son carré sera plus grand que 10.

N ≥ 3 ⇒ N2 > 10

Le cube d’un nombre N est le produit du nombre N par son carré.

Le cube d’un nombre N est le produit de N par le nombre de dizaines d du carré augmenté du produit de N par le nombre d’unités u.

N3 = N x 10d + N x u

Il s’agit d’une méthode simple et efficace pour calculer de tête le cube d’un nombre entier sans calculatrice.

Vous devez juste connaître les tables de multiplication de 1 à 10.

  • 13 = 1.
  • 23 = 8 (2 x 22 = 2 x 4).
  • 33 = 27 (3 x 32 = 3 x 9).
  • 43 = 64 (4 x 42 = 4 x 16 = 4 x (10 + 6) = 4 x 10 + 4 x 6 = 40 + 24).
  • 53 = 125 (5 x 52 =5 x 25 = 5 x (20 + 5) = 5 x 20 + 5 x 5= 5 x 2 x 10 + 25 = 100 + 25).
  • 63 = 216 (6 x 62 = 6 x 36 = 6 x (30 + 6) = 6 x 30 + 6 x 6 = 6 x 3 x 10 + 36 = 180 + 36).
  • 73 = 343 (7 x 72 = 7 x 49 = 7 x (40 + 9) = 7 x 40 + 7 x 9 = 7 x 4 x 10 + 63 = 280 + 63).
  • 83 = 512 (8 x 82 = 8 x 64 = 8 x (60 + 4) = 8 x 60 + 8 x 4 = 8 x 6 x 10 + 32 = 480 + 32).
  • 93 = 729 (9 x 92 = 9 x 81 = 9 x (80 + 1) = 9 x 80 + 9 x 1 = 9 x 8 x 10 + 9 = 720 + 9).
  • 103 = 1 000 (10 x 102 = 10 x 100).

Calcul mental des cubes des multiples de 10.

N3 = (D x 10)3 = D3 x 1 000

Exemple :

303 = 33 x 1 000= 27 000

Le cube d’un multiple de 10 est le produit du nombre de dizaines au cube par 1 000.

N3 = D3 x 1 000

Il s’agit d’une application directe de la distributivité des puissances.

(ab)p = ap x bp

Si a = nombre de dizaines, b = 10 et p = 3, alors (D x 10)3 = D3 x 103 = D3 x 1 000

Le cube des multiples de 10 jusqu’à 100 se calcule de tête facilement à partir du cube des nombres de 1 à 10.

  • 103 = 1 000 = (1 x 10)3 = 13 x 103 = 1 x 1 000.
  • 203 = 8 000 = (2 x 10)3 = 23 x 103 = 8 x 1 000.
  • 303 =27 000 = (3 x 10)3 = 33 x 103 = 27 x 1 000.
  • 403 = 64 000 = (4 x 10)3 = 43 x 103 = 64 x 1 000.
  • 503 =125 000 = (5 x 10)3 = 53 x 103 = 125 x 1 000.
  • 603 = 216 000 = (6 x 10)3 = 63 x 103 = 216 x 1 000.
  • 703 = 343 000 = (7 x 10)3 = 73 x 103 = 343 x 1 000.
  • 803 = 512 000 = (8 x 10)3 = 83 x 103 = 512 x 1 000.
  • 903 = 729 000 = (9 x 10)3 = 93 x 103 = 729 x 1 000.
  • 1003 = 1 000 000 = (10 x 10)3 = 103 x 103 = 1 000 x 1 000.

Calcul mental des nombres au cube jusqu’à 100.

N3 = 1 000d3 + 300d2u + 30du2 + u3

avec N = 10d + u (d= nombre de dizaines et u = nombre d’unités)

Exemple :

233 = 1 000 x 23 + 300 x 22 x 3 + 30 x 2 x 32 + 33

= 8 000 + 3 600 + 540 + 27

= 12 167

Nous allons nous utiliser l’identité remarquable du troisième degré

(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

Nous pouvons écrire les nombres entiers plus grands que 10 comme suit.

a = 10d + u

d est le nombre de dizaines et u l’unité.

a3 = (10d + u)3 = (10d)3 + 3(10d)2u + 3(10d)u2 + u3 = 1 000d3 + 300d2u + 30du2 + u3

Nous pouvons en déduire :

Nombres compris entre 11 et 19.

a3 = (10 + u)3 = 1 000 + 300u + 30u2 + u3

Exemples :

113 = (10 + 1)3 = 1 000 + 300 x 1 + 30 x 12 + 13 =1 000 + 300 + 30 + 1 = 1 331

153 = (10 + 5)3 = 1 000 + 300 x 5 + 30 x 52 + 53 =1 000 + 1 500 + 750 + 125 = 3 375

Nombres compris entre 21 et 29.

a3 = (20 + u)3 = (20)3 + 300 x 22 x u + 30 x 2 x u2 + u3 = 8 000 + 1 200u + 60u2 + u3

Exemples :

213 = (20 + 1)3 = 8 000 + 1 200 x 1 + 60 x 12 + 13 = 8 000 + 1 200 + 60 + 1 = 9 261

253 = (20 + 5)3 = 8 000 + 1 200 x 5 + 60 x 52 + 53 = 8 000 + 6 000 + 1 500 + 125 = 15 625

Nombres compris entre 31 et 39.

a3 = (30 + u)3 = (30)3 + 300 x 32 x u + 30 x 3 x u2 + u3 = 27 000 + 2 700u + 90u2 + u3

Exemples :

313 = (30 + 1)3 = 27 000 + 2 700 x 1 + 90 x 12 + 13 = 27 000 + 2 700 + 90 + 1 = 29 791

353 = (30 + 5)3 = 27 000 + 2 700 x 5 + 90 x 52 + 53 = 27 000 + 13 500 + 2 250 + 125 = 42 875

Nombres compris entre 41 et 49.

a3 = (40 + u)3 = (40)3 + 300 x 42 x u + 30 x 4 x u2 + u3 = 64 000 + 4 800u + 120u2 + u3

Exemples :

413 = (40 + 1)3 = 64 000 + 4 800 x 1 + 120 x 12 + 13 = 64 000 + 4 800 + 120 + 1 = 68 921

453 = (40 + 5)3 = 64 000 + 4 800 x 5 + 120 x 52 + 53 = 64 000 + 24 000 + 3 000 + 125 = 91 125

Nombres compris entre 51 et 59.

a3 = (50 + u)3 = (50)3 + 300 x 52 x u + 30 x 5 x u2 + u3 = 125 000 + 7 500u + 150u2 + u3

Exemples :

513 = (50 + 1)3 = 125 000 + 7 500 x 1 + 150 x 12 + 13 = 125 000 + 7 500 + 150 + 1 = 132 651

553 = (50 + 5)3 = 125 000 + 7 500 x 5 + 150 x 52 + 53 = 125 000 + 37 500 + 3 750 + 125 = 166 375

Nombres compris entre 61 et 69.

a3 = (60 + u)3 = (60)3 + 300 x 62 x u + 30 x 6 x u2 + u3 = 216 000 + 10 800u + 180u2 + u3

Exemples :

613 = (60 + 1)3 = 216 000 + 10 800 x 1 + 180 x 12 + 13 = 216 000 + 10 800 + 180 + 1 = 226 981

653 = (60 + 5)3 = 216 000 + 10 800 x 5 + 180 x 52 + 53 = 216 000 + 54 000 + 4 500 + 125 = 274 625

Nombres compris entre 71 et 79.

a3 = (70 + u)3 = (70)3 + 300 x 72 x u + 30 x 7 x u2 + u3 = 343 000 + 14 700u + 210u2 + u3

Exemples :

713 = (70 + 1)3 = 343 000 + 14 700 x 1 + 210 x 12 + 13 = 343 000 + 14 700 + 210 + 1 = 357 911

753 = (70 + 5)3 = 343 000 + 14 700 x 5 + 210 x 52 + 53 = 343 000 + 73 500 + 5 250 + 125 = 421 875

Nombres compris entre 81 et 89.

a3 = (80 + u)3 = (80)3 + 300 x 82 x u + 30 x 8 x u2 + u3 = 512 000 + 19 200u + 240u2 + u3

Exemples :

813 = (80 + 1)3 = 512 000 + 19 200 x 1 + 240 x 12 + 13 = 512 000 + 19 200 + 240 + 1 = 531 441

853 = (80 + 5)3 = 512 000 + 19 200 x 5 + 240 x 52 + 53 = 512 000 + 96 000 + 6 000 + 125 = 614 125

Nombres compris entre 91 et 99.

a3 = (90 + u)3 = (90)3 + 300 x 92 x u + 30 x 9 x u2 + u3 = 729 000 + 24 300u + 270u2 + u3

Exemples :

913 = (90 + 1)3 = 729 000 + 24 300 x 1 + 270 x 12 + 13 = 729 000 + 24 300 + 270 + 1 = 753 571

953 = (90 + 5)3 = 729 000 + 24 300 x 5 + 270 x 52 + 53 = 729 000 + 121 500 + 6 750 + 125 = 857 375

Cube des nombres voisins.

Il existe une méthode très simple et très rapide pour calculer le cube d’un nombre voisin d’un autre.

Si vous connaissez le cube d’un nombre, vous pouvez trouver très facilement le cube du nombre que le suit ou qui le précède.

Nous avons vu, dans l’article Liste des Cubes Parfaits – les 1000 premiers cubes parfaits, deux propriétés des nombres carrés appelées identités remarquables.

(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

(a – b)3 = a3 – 3a²b + 3ab² – b3

Pour les nombres voisins d’un nombre dont nous connaissons le cube, nous pouvons en déduire une formule pour calculer facilement

  • Le cube du nombre suivant.
  • Le cube du nombre précédent.

Calculer mentalement le cube du nombre suivant.

Pour trouver rapidement le cube du nombre suivant celui d’un nombre dont nous connaissons le cube, il suffit d’appliquer la formule suivante.

(a + 1)3 = a3 + 3a² + 3a + 1

Exemple :

33

= (2 + 1)3 = 23 + 3 x 22 + 3 x 2 + 1

= 8 + 12 + 6 + 1

= 27

qui est une application directe de l’identité remarque de degré 3

(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

avec b = 1.

Exemples :

63 = (5 + 1)3 = 53 + 3 x 5² + 3 x 5 + 1 = 125 + 3 x 25 + 3 x 5 + 1 = 125 + 75 + 15 + 1 = 216

213 = (20 + 1)3 = 203 + 3 x 20² + 3 x 20 + 1 = 8 000 + 3 x 400 + 3 x 20 + 1 = 8 000 + 1 200 + 60 + 1 = 9 261

1013 = (100 + 1)3 = 1003 + 3 x 100² + 3 x 100 + 1 = 1 000 000 + 3 x 10 000 + 3 x 100 + 1 = 1 000 000 + 30 000 + 300 + 1 = 1 030 301

Calculer mentalement le cube du nombre précédent.

Pour trouver rapidement le cube du nombre précédent celui d’un nombre dont nous connaissons la puissance de 3, il suffit d’appliquer la formule suivante.

(a – 1)3 = a3 – 3a² + 3a – 1

Exemple :

93 = (10 – 1)3 = 103 – 3 x 10² + 3 x 10 – 1

= 1 000 – 300 + 30 – 1

= 729

qui est une application directe de l’identité remarquable de degré 3

(a – b)3 = a3 – 3a²b + 3ab² – b3

avec b = 1.

Exemples :

93 = (10 – 1)3 = 103 – 3 x 10² + 3 x 10 – 1 = 100 – 3 x 100 + 3 x 10 – 1 = 1 000 – 300 + 30 – 1 = 729

193 = (20 – 1)3 = 203 – 3 x 20² + 3 x 20 – 1 = 8 000 – 3 x 400 + 3 x 20 – 1 = 8 000 – 1 200 + 60 – 1 = 6 859

993 = (100 – 1)3 = 1003 – 3 x 100² + 3 x 100 – 1 = 1 000 000 – 3 x 10 000 + 3 x 100 – 1 = 1 000 000 – 30 000 + 300 – 1 = 970 299

Cube des nombres voisins de 2 unités.

Pour trouver rapidement le cube du nombre suivant ou précédent de 2 unités celui d’un nombre dont nous connaissons la puissance de 3, il suffit d’appliquer l’une des formules suivantes.

(a + 2)3 = a3 + 6a² + 12a + 8

Exemple :

123

= (10 + 2)3 = 103 + 6 x 102 + 12 x 10 + 8

= 1 000 + 600 + 120 + 8

= 1 728

(a – 2)3 = a3 – 6a² + 12a – 8

Exemple :

83 =

(10 – 2)3 = 103 – 6 x 102 + 12 x 10 – 8

= 1 000 – 600 + 120 – 8

= 528

qui sont une application directe des identités remarquables de degré 3

(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

et

(a – b)3 = a3 – 3a²b + 3ab² – b3

avec b = 2.

Exemples :

73 = (5 + 2)3 = 53 + 6 x 5² + 12 x 5 + 8 = 125 + 6 x 25 + 12 x 5 + 8 = 125 + 150 + 60 + 8 = 343

323 = (30 + 2)3 = 303 + 6 x 30² + 12 x 30 + 8 = 33 x 103 + 6 x 32 x 102 + 12 x 3 x 10 + 8 = 27 x 1 000 + 6 x 9 x 100 + 360 + 8 = 27 000 + 5 400 + 360 + 8 = 32 768

83 = (10 – 2)3 = 103 – 6 x 10² + 12 x 10 – 8 = 1 000 – 6 x 100 + 120 – 8 = 1 000 – 600 + 120 – 8 = 512

283 = (30 – 2)3 = 303 – 6 x 30² + 12 x 30 – 8 = 33 x 103 – 6 x 32 x 102 + 12 x 3 x 10 – 8 = 27 x 1 000 – 6 x 9 x 100 + 360 – 8 = 27 000 – 5 400 + 360 – 8 = 21 952

Cube des nombres voisins d’une dizaine.

Pour trouver rapidement le cube du nombre plus grand de dix (N + 10) qu’un nombre dont nous connaissons le cube, il suffit d’appliquer la formule suivante.

(a + 10)3 = a3 + 30a² + 300a + 1 000

Exemple :

153

= (10 + 5)3 = 53 + 30 x 52 + 300 x 5 + 1 000

= 125 + 750 + 1 500 + 1 000

= 3 375

qui est une application directe de l’identité remarque de degré 3

(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3

avec b = 10.

(a + 10)3 = a3 + 3a² x 10 + 3a x 10² + 103 = a3 + 30 x a2 + 300 x a + 1 000

Exemples :

123 = (2 + 10)3 = 23 + 30 x 2² + 300 x 2 + 1 000 = 8 + 120 + 600 + 1 000 = 1 728

163 = (6 + 10)3 = 63 + 30 x 6² + 300 x 6 + 1 000 = 216 + 30 x 36 + 1 800 + 1 000 = 216 + 1 080 + 1 800 + 1 000 = 4 096

1103 = (100 + 10)3 = 1003 + 30 x 100² + 300 x 100 + 1 000 = 1 000 000 + 300 000 + 30 000 + 1 000 = 1 331 000

Calcul mental du cube d’un multiple d’un nombre.

Pour calculer de tête le cube d’un entier, il peut être plus simple de le décomposer en facteurs et d’utiliser la formule mathématique

(ab)3 = a3b3

Exemple :

63

= (2 x 3)3 =23 x 33

= 8 x 27

= 216

Le cube du produit ab est le produit des cubes des facteurs a et b.

Exemples :

63 = (2 x 3)3 =23 x 33 = 8 x 27 = 8 x (20 + 7) = 8 x 20 + 8 x 7 = 160 + 56 = 216

143 = (2 x 7)3 =23 x 73 = 8 x 343 = 8 x (300 + 40 + 3) = 8 x 300 + 8 x 40 + 8 x 3 = 2 400 + 320 + 24 = 2 744

153 = (3 x 5)3 =33 x 53 = 27 x 125 = 27 x (100 + 20 + 5) = 2 700 + 540 + (20 + 7) x 5 = 2 700 + 540 + 100 + 35 = 3 375

183 = (2 x 9)3 = 23 x 33 x 33 = 8 x 27 x 27 = 8 x (20 + 7) x (20 + 7) = (8 x 20 + 8 x 7) x (20 + 7) = (160 + 56) x (20 + 7) = 216 x (20 + 7) = 216 x 20 + 216 x 7 = 4 320 + (200 + 10 + 6) x 7 = 4 320 + 200 x 7 + 10 x 7 + 6x 7 = 4 320 + 1 400 + 70 + 42 = 5 832

243 = (3 x 8)3 =33 x 83 = 27 x 512 = (20 + 7) x 512 = 20 x 512 + 7 x 512 = 10 240 + 7 x (500 + 10 + 2) = 10 240 + 3 500 + 70 + 14 = 13 824

353 = (7 x 5)3 =73 x 53 = 343 x 125 = 343 x (100 + 20 + 5) = 343 x 100 + 343 x 20 + 343 x 5 = 34 300 + 6 860 + (300 + 40 + 3) x 5 = 34 300 + 6 860 + 1 500 + 200 + 15 = 42 875

Calcul mental d’une fraction d’un nombre.

Pour calculer de tête le cube d’un entier, il peut être plus simple de le considérer comme une fraction d’un nombre dont on connait la puissance de 3 en utilisant la formule mathématique

(a / b)3 = a3 / b3

Exemple :

53 = (10 / 2)3 = 103 / 23

= 1 000 / 8

ou

1 000 / 2 / 2 / 2 = 500 / 2 / 2 = 250 / 2

= 125

Le cube de la fraction a/b est la fraction des cubes du numérateur a et du dénominateur b.

Exemples :

153 = (30 / 2)3 = 303 / 23 = (3 x 10)3 / (2 x 2 x 2) = (33 x 103) / 2 / 2 / 2 = (27 x 1 000) / 2 / 2 /2 = 27 000 / 2 / 2/ 2 = 13 500 / 2 / 2 = 6 750 / 2 = 3 375

253 = (100 / 4)3 = 1003 / 43 = 1 000 000 / (4 x 4 x 4) = 250 000 / (4 x 4) = 250 000 / 2 / 2 / 2 / 2 = 125 000 / 2 / 2 / 2 = 62 500 / 2 / 2 = 31 250 / 2 = 15 625

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