Comment Calculer l’Hypoténuse facilement avec le Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit (90 degrés).

Le calcul de la longueur de l’hypoténuse peut se faire principalement de deux façons.

  • Calculer l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore si la longueur des deux autres côtés est connue.
    • Hypothénuse2 = côté opposé2 + côté adjacent2.
  • Calculer l’hypoténuse avec la loi des sinus si la longueur d’un côté et un angle sont connus.
    • Hypoténuse = côté adjacent / cosinus de l’angle.
    • Hypoténuse = côté opposé / sinus de l’angle.

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Comment Calculer l'Hypoténuse facilement avec le Théorème de Pythagore.
Comment Calculer l’Hypoténuse facilement avec le Théorème de Pythagore.

Sommaire.

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Définitions.

Hypoténuse.

L’hypoténuse est le côté du triangle rectangle opposé à l’angle droit et le plus grand des trois côtés.

L’hypoténuse est le côté en face de l’angle droit du triangle rectangle.

💡 Astuce mnémotechnique :

Retenir que l’hypoténuse est le côté en pente, c’est-à-dire le côté opposé à l’angle droit.

Imaginer un hippopotame ou un hippocampe en train de monter la pente.

Le nom des deux animaux commence par hippo qui a la même consonance que hypo, premières lettres du mot hypoténuse.

L’hypoténuse est la diagonale du rectangle circonscrit au triangle rectangle, c’est-à-dire la diagonale du rectangle dont deux côtés correspondent aux cathètes du triangle rectangle.

L’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit au triangle rectangle, c’est-à-dire le diamètre de l’unique cercle passant par les 3 sommets du triangle.

Côté adjacent.

Le côté adjacent est le côté d’un angle aigu qui n’est pas l’hypoténuse.

Côté opposé.

Le côté opposé à un angle est celui qui est en face de cet angle.

Cathète.

Dans un triangle rectangle, un cathète est un côté adjacent à l’angle droit.

Un triangle rectangle a trois côtés : l’hypoténuse et deux cathètes.

Pourquoi calculer l’hypoténuse.

Le calcul de l’hypoténuse permet de savoir si un triangle est rectangle.

Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est un triangle rectangle.

Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore permet de calculer la diagonale d’un rectangle ou d’un carré.

Le calcul de l’hypoténuse est utilisé, par exemple, pour élaborer des plans, par les architectes, les artisans ou les constructeurs.

Il permet de vérifier des angles, des inclinaisons, de calculer des volumes, des quantités de matériaux, etc.

Théorème de Pythagore.

Hypoténuse = √a2 + b2.

a et b = longueur des deux autres côtés du triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore, appelé théorème de l’hypoténuse, permet de calculer la longueur de l’hypoténuse en affirmant que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle rectangle.

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB2 = AC2 + BC2, où AB représente l’hypoténuse.

Une autre façon d’énoncer le théorème de Pythagore est de dire que si nous connaissons la longueur des deux côtés a et b de l’angle droit, nous pouvons calculer la longueur de l’hypoténuse c avec la formule a2 + b2 = c2.

La longueur de l’hypoténuse est égale à la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés.

c = √a2 + b2

L’hypoténuse est le plus grand des 3 côtés du triangle rectangle puisque son carré est la somme des carrés des cathètes du triangle rectangle.

Comment trouver facilement la longueur de l’hypoténuse.

Calculatrice hypoténuse.

Nous avons créé une calculatrice dédiée gratuite en ligne pour calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

L’outil de calcul utilise la formule du théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

Cliquez sur l’image ci-dessous pour essayer la calculatrice d’hypoténuse pour connaître la valeur exacte de l’hypoténuse d’un triangle.

Calculatrice hypoténuse

Cas général du théorème de Pythagore.

Si nous connaissons les longueurs des cathètes, le théorème de Pythagore nous permet de trouver la longueur de l’hypoténuse.

  • Calculer le carré du côté adjacent et du côté opposé.
  • Additionner les deux carrés.
  • Calculer la racine carrée.

Exemple :

1 – Énoncé :

Côté adjacent = a = 6 cm.

Côté opposé = b = 8 cm.

Calculer l’hypoténuse c.

2 – Démonstration :

  • a2 = a x a = 6 x 6 = 36.
  • b2 = b x b = 8 x 8 = 64.
  • a2 + b2 = 36 + 64 = 100 = c2.
  • c = √100 = 10.

3 – Solution :

L’hypoténuse a pour longueur 10 cm.

Les triplets pythagoriciens.

Définition.

Un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est, en arithmétique, une famille de trois nombres entiers naturels non nuls tels que la somme des carrés des deux premiers entiers vaut le carré du troisième.

Un triplet (a, b, c) est un triplet pythagoricien lorsqu’il vérifie l’égalité de Pythagore c2 = a2 + b2.

Dans le cas d’un triplet pythagoricien, les côtés du triangle rectangle ont pour longueur un nombre entier d’unités.

Les triplets de Pythagore à connaître.

Les triangles rectangles, dont les côtés sont des triplets pythagoriciens, sont souvent utilisés dans les exercices de mathématiques et lors des contrôles.

Certains triplets de Pythagore reviennent souvent dans les exercices et les devoirs surveillés.

Les connaitre et les reconnaitre peut vous faire gagner du temps.

Le triplet (3, 4, 5) est le plus petit triplet pythagoricien. Il vérifie l’égalité de Pythagore 52 = 32 + 42.

  • 32 = 9.
  • 42 = 16.
  • 32 + 42 = 25.
  • 25 = 5.
  • L’hypoténuse d’un triangle rectangle de cathètes valant 3 et 4 a pour longueur 5.

Le triplet (5, 12, 13) est le deuxième triplet pythagoricien à connaitre. Il vérifie l’égalité de Pythagore 132 = 52 + 122.

  • 52 = 25.
  • 122 = 144.
  • 52 + 1442 = 169.
  • 169 = 13.
  • L’hypoténuse d’un triangle rectangle de cathètes valant 3 et 4 a pour longueur 5.

Les triplets primitifs.

Un triplet de Pythagore primitif est un triplet pythagoricien (a, b, c) dont les nombres sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont que 1 comme diviseur commun.

Calculer l’hypoténuse en fonction du triplet primitif.

(A, B, C) = (A, B, mc).

c est l’hypoténuse du triplet primitif.

m est le PGCD de A et B.

Tout triplet pythagoricien est, de manière unique, le produit d’un triplet de Pythagore primitif par un entier naturel non nul.

Pour calculer la longueur de l’hypoténuse associée à un triplet pythagoricien plus facilement, vous pouvez commencer par chercher le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des deux cathètes, puis calculer le triplet de Pythagore primitif correspondant pour déterminer la longueur de l’hypoténuse.

Démonstration.

Soit (A, B, C) le triplet pythagoricien (A et B sont les longueurs des cathètes et C la longueur de l’hypoténuse).

(a, b, c) est le triplet de Pythagore primitif. Il vérifie la formule : a2 + b2 = c2.

Si m est le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).

A = m x a.

B = m x b.

A2 + B2 = (m x a)2 + (m x b)2 = m2 x a2 + m2 x b2 = m2 x (a2 + b2) = m2 x c2.

Nous avons démontré que A2 + B2 = C2 = m2 x c2.

La longueur de l’hypoténuse est la racine carrée de m2 x c2, soit m x c, que nous appellerons mc par simplification.

(A, B, C) = (A, B, mc).

Exemple.

1 – Énoncé :

Côté adjacent = A = 20 cm.

Côté opposé = B = 48 cm.

Calculer l’hypoténuse C.

2 – Démonstration :

  • A = 20 = 4 x 5.
  • B = 48 = 4 x 12.
  • m = 4 (plus grand commun diviseur de 20 et 48).
  • a = 5.
  • b = 12.
  • a2 = a x a = 5 x 5 = 25.
  • b2 = b x b = 12 x 12 = 144.
  • a2 + b2 = 25 + 144 = 169 = c2.
  • c = √169 = 13.
  • C = m x c = 4 x 13 = 52.
  • (20, 48, ?) = 4 x (5, 12, 13) = (20, 48, 52).

3 – Solution :

L’hypoténuse a pour longueur 52 cm.

Liste des triplets de Pythagore primitifs.

Il existe 16 triplets de Pythagore primitifs pour lesquels la longueur de l’hypoténuse est inférieure à 100.

  • (3, 4, 5)
  • (5, 12, 13)
  • (8, 15, 17)
  • (7, 24, 25)
  • (20, 21, 29)
  • (12, 35, 37)
  • (9, 40, 41)
  • (28, 45, 53)
  • (11, 60, 61)
  • (16, 63, 65)
  • (33, 56, 65)
  • (48, 55, 73)
  • (13, 84, 85)
  • (36, 77, 85)
  • (39, 80, 89)
  • (65, 72, 97)

Liste des triplets pythagoriciens.

La liste des triplets de Pythagore jusqu’à 100 est la suivante.

  • (3,4,5)
  • (5,12,13)
  • (6,8,10)
  • (7,24,25)
  • (8,15,17)
  • (9,12,15)
  • (9,40,41)
  • (10,24,26)
  • (11,60,61)
  • (12,16,20)
  • (12,35,37)
  • (13,84,85)
  • (14,48,50)
  • (15,20,25)
  • (15,36,39)
  • (16,30,34)
  • (16,63,65)
  • (18,24,30)
  • (18,80,82)
  • (20,21,29)
  • (20,48,52)
  • (21,28,35)
  • (21,72,75)
  • (24,32,40)
  • (24,45,51)
  • (24,70,74)
  • (25,60,65)
  • (27,36,45)
  • (28,45,53)
  • (28,96,100)
  • (30,40,50)
  • (30,72,78)
  • (32,60,68)
  • (33,44,55)
  • (33,56,65)
  • (35,84,91)
  • (36,48,60)
  • (36,77,85)
  • (39,52,65)
  • (39,80,89)
  • (40,42,58)
  • (40,75,85)
  • (42,56,70)
  • (45,60,75)
  • (48,55,73)
  • (48,64,80)
  • (51,68,85)
  • (54,72,90)
  • (57,76,95)
  • (60,63,87)
  • (60,80,100)
  • (65,72,97)

Comment calculer la diagonale du carré.

Formule de calcul de l’hypoténuse.

Hypoténuse = a√2.

a = longueur d’un côté du carré.

La diagonale d’un carré est aussi l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

Dans le cas d’un carré, les côtés adjacents et opposés du triangle rectangle ont la même longueur.

La formule du théorème de Pythagore devient

c2 = a2 + b2 = a2 + a2 = 2 a2

c = √2 a2

c = a √2

La longueur de l’hypoténuse est le produit de la longueur a d’un côté par la racine carrée de 2.

Hypoténuse = a√2.

Exemple.

Si chaque cathète d’un triangle rectangle mesure 5 cm, alors la longueur de l’hypoténuse est de 5√2 cm.

Liste des multiples de racine carrée de 2.

Racine carrée de 2 vaut environ 1,414.

La table des multiples de racine carrée de 2 de 1 à 100 est la suivante.

  • √2 = 1,414.
  • 2√2 = 2,828.
  • 3√2 = 4,243.
  • 4√2 = 5,657.
  • 5√2 = 7,071.
  • 6√2 = 8,485.
  • 7√2 = 9,899.
  • 8√2 = 11,314.
  • 9√2 = 12,728.
  • 10√2 = 14,142.
  • 11√2 = 15,556.
  • 12√2 = 16,971.
  • 13√2 = 18,385.
  • 14√2 = 19,799.
  • 15√2 = 21,213.
  • 16√2 = 22,627.
  • 17√2 = 24,042.
  • 18√2 = 25,456.
  • 19√2 = 26,87.
  • 20√2 = 28,284.
  • 21√2 = 29,698.
  • 22√2 = 31,113.
  • 23√2 = 32,527.
  • 24√2 = 33,941.
  • 25√2 = 35,355.
  • 26√2 = 36,77.
  • 27√2 = 38,184.
  • 28√2 = 39,598.
  • 29√2 = 41,012.
  • 30√2 = 42,426.
  • 31√2 = 43,841.
  • 32√2 = 45,255.
  • 33√2 = 46,669.
  • 34√2 = 48,083.
  • 35√2 = 49,497.
  • 36√2 = 50,912.
  • 37√2 = 52,326.
  • 38√2 = 53,74.
  • 39√2 = 55,154.
  • 40√2 = 56,569.
  • 41√2 = 57,983.
  • 42√2 = 59,397.
  • 43√2 = 60,811.
  • 44√2 = 62,225.
  • 45√2 = 63,64.
  • 46√2 = 65,054.
  • 47√2 = 66,468.
  • 48√2 = 67,882.
  • 49√2 = 69,296.
  • 50√2 = 70,711.
  • 51√2 = 72,125.
  • 52√2 = 73,539.
  • 53√2 = 74,953.
  • 54√2 = 76,368.
  • 55√2 = 77,782.
  • 56√2 = 79,196.
  • 57√2 = 80,61.
  • 58√2 = 82,024.
  • 59√2 = 83,439.
  • 60√2 = 84,853.
  • 61√2 = 86,267.
  • 62√2 = 87,681.
  • 63√2 = 89,095.
  • 64√2 = 90,51.
  • 65√2 = 91,924.
  • 66√2 = 93,338.
  • 67√2 = 94,752.
  • 68√2 = 96,167.
  • 69√2 = 97,581.
  • 70√2 = 98,995.
  • 71√2 = 100,409.
  • 72√2 = 101,823.
  • 73√2 = 103,238.
  • 74√2 = 104,652.
  • 75√2 = 106,066.
  • 76√2 = 107,48.
  • 77√2 = 108,894.
  • 78√2 = 110,309.
  • 79√2 = 111,723.
  • 80√2 = 113,137.
  • 81√2 = 114,551.
  • 82√2 = 115,966.
  • 83√2 = 117,38.
  • 84√2 = 118,794.
  • 85√2 = 120,208.
  • 86√2 = 121,622.
  • 87√2 = 123,037.
  • 88√2 = 124,451.
  • 89√2 = 125,865.
  • 90√2 = 127,279.
  • 91√2 = 128,693.
  • 92√2 = 130,108.
  • 93√2 = 131,522.
  • 94√2 = 132,936.
  • 95√2 = 134,35.
  • 96√2 = 135,765.
  • 97√2 = 137,179.
  • 98√2 = 138,593.
  • 99√2 = 140,007.
  • 100√2 = 141,421.

Comment calculer la longueur d’une pente.

Définition.

La pente est l’inclinaison d’une surface par rapport à l’horizontale et correspond à l’hypoténuse.

Calculer une pente (l’hypoténuse) à partir de la distance horizontale et du pourcentage est souvent utile dans plusieurs domaines.

  • Pente d’une route, d’une côte.
  • Pente de toit.
  • Rampe d’accès.
  • Etc.

La pente peut être exprimée en pourcentage.

Le pourcentage d’une pente est le rapport hauteur sur longueur multiplié par 100.

Pente (%) = 100 x hauteur / distance horizontale.

Une pente à 100 % n’est pas verticale mais correspond à une hauteur égale à l’horizontale.

Pour une pente à 100 %, le côté adjacent et le côté opposé à la pente ont la même longueur.

Dans le cas d’une pente à 100 %, le triangle rectangle est isocèle.

Une pente à 100 % correspond à un angle de 45 degrés (45°).

Formule de calcul de la pente.

Le triplet de Pythagore est (a, ma, a√1 + m2).

a = distance horizontale.

m = pourcentage de pente.

Pour calculer la longueur de la pente, nous allons appliquer le théorème de Pythagore.

  • Pente (%) = 100 x hauteur / distance horizontale.
  • Hauteur = pente (%) x distance horizontale / 100.
  • Longueur de la pente² = hauteur² + distance horizontale²
  • Longueur de la pente² = (pente (%) x distance horizontale)2 + distance horizontale²
  • Longueur de la pente² = (pente (%)2 + 1) x distance horizontale²
  • Longueur de la pente² = distance horizontale² x (1 + pente (%)2)
  • Longueur de la pente = √distance horizontale² x (1 + pente (%)2)

Longueur de la pente = distance horizontale x √(1 + pente (%)2)

Pour un triplet pythagoricien (a, b, c) où

  • a est la distance horizontale.
  • b est la hauteur.
  • c est l’hypoténuse.
  • m est le pourcentage de pente par rapport à la distance horizontale a.

Le théorème de Pythagore indique

c2 = a2 + b2 = a2 + (ma)2

c2 = a² x (1 + m2)

c = √a² x (1 + m2)

c = a√1 + m2

Le triplet de Pythagore est (a, ma, a√1 + m2).

Exemples.

Pente d’une route.

1 – Énoncé :

Distance horizontale a = 100 m.

Pente m = 10%

Calculer la hauteur b et la longueur de la pente (hypoténuse) c.

2 – Démonstration :

  • a = 100.
  • m = 10%.
  • b = ma = 100 x 10% = 10.
  • c = a√1 + m2 = 100 √1 + 10%2 = 100,499.

3 – Solution :

La hauteur est de 10 mètres et la pente (hypoténuse) a pour longueur 100,499 mètres.

Pente d’un toit.

1 – Énoncé :

Distance horizontale a = 5 m.

Pente m = 30%

Calculer la hauteur b du pignon (partie du mur entre les deux versants du toit) et la longueur de la pente du toit (hypoténuse) c.

2 – Démonstration :

  • a = 5.
  • m = 30%.
  • b = ma = 5 x 30% = 1,5.
  • a = 5.
  • m = 30%.
  • b = ma = 5 x 30% = 1,5.
  • c = a√1 + m2 = 5 √1 + 30%2 = 5,22.

3 – Solution :

La hauteur du pignon est de 1,5 mètre et la pente du toit (hypoténuse) a pour longueur 5,22 mètres.

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